Question

Un conjunto contiene cuatro números. Las seis sumas por parejas de elementos distintos del conjunto, sin orden particular, son $189,$ $320,$ $287,$ $234,$ $x,$ y $y.$ Halle el mayor valor posible de $x + y.$

A set contains four numbers. The six pairwise sums of distinct elements of the set, in no particular order, are $189,$ $320,$ $287,$ $234,$ $x,$ and $y.$ Find the greatest possible value of $x + y.$

Respuesta

Solución:

Sea el conjunto $\{a, b, c, d\}$ con total $s = a + b + c + d.$ Las seis sumas por parejas vienen en tres pares complementarios: $\begin{aligned} &(a+b) + (c+d) \\ &= (a+c) + (b+d) \\ &= (a+d) + (b+c) = s. \end{aligned}$ Ninguna de las formas de agrupar $189,$ $320,$ $287,$ $234$ en dos pares da totales iguales ( $509 \ne 521,$ $476 \ne 554,$ $423 \ne 607$ ), así que $x$ y $y$ no están emparejados entre sí; cada uno se empareja con una suma dada, y las dos sumas dadas restantes se emparejan juntas. Sumando los seis valores, $x + y$ $= 3s - (189 + 320 + 287 + 234)$ $= 3s - 1030,$ donde $s$ es la suma de dos de los números dados.

La mayor elección es $s = 320 + 287 = 607,$ que da $x + y = 3 \cdot 607 - 1030 = 791.$ Esto se alcanza con el conjunto $\{51.5,\ 137.5,\ 182.5,\ 235.5\},$ cuyas sumas por parejas son $189,$ $234,$ $287,$ $320,$ $373,$ y $418,$ con $373 + 418 = 791.$

Let the set be $\{a, b, c, d\}$ with total $s = a + b + c + d.$ The six pairwise sums come in three complementary pairs: $\begin{aligned} &(a+b) + (c+d) \\ &= (a+c) + (b+d) \\ &= (a+d) + (b+c) = s. \end{aligned}$ No two of the pairings of $189,$ $320,$ $287,$ $234$ into two pairs give equal totals ( $509 \ne 521,$ $476 \ne 554,$ $423 \ne 607$ ), so $x$ and $y$ are not paired with each other; each is paired with a given sum, and the remaining two given sums are paired together. Adding all six values, $x + y$ $= 3s - (189 + 320 + 287 + 234)$ $= 3s - 1030,$ where $s$ is the sum of two of the given numbers.

The largest choice is $s = 320 + 287 = 607,$ giving $x + y = 3 \cdot 607 - 1030 = 791.$ This is attained by the set $\{51.5,\ 137.5,\ 182.5,\ 235.5\},$ whose pairwise sums are $189,$ $234,$ $287,$ $320,$ $373,$ and $418,$ with $373 + 418 = 791.$

2017 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años