Question

Un número racional escrito en base ocho es $\underline{a}\,\underline{b}.\underline{c}\,\underline{d},$ donde todos los dígitos son no nulos. El mismo número en base doce es $\underline{b}\,\underline{b}.\underline{b}\,\underline{a}.$ Halla el número en base diez $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}.$

A rational number written in base eight is $\underline{a}\,\underline{b}.\underline{c}\,\underline{d},$ where all digits are nonzero. The same number in base twelve is $\underline{b}\,\underline{b}.\underline{b}\,\underline{a}.$ Find the base-ten number $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}.$

Respuesta

Solución:

Las partes enteras deben ser iguales: $8a + b = 12b + b,$ así que $8a = 12b,$ es decir $2a = 3b.$ Como $a$ y $b$ son dígitos no nulos en base ocho (a lo sumo $7$ ), las únicas opciones son $(a, b) = (3, 2)$ y $(6, 4).$

Las partes fraccionarias también deben coincidir: $\frac{c}{8} + \frac{d}{64} = \frac{b}{12} + \frac{a}{144},$ es decir $\frac{8c + d}{64} = \frac{12b + a}{144}.$ Para $(a, b) = (6, 4)$ el lado derecho es $\frac{54}{144} = \frac{24}{64},$ lo que fuerza $8c + d = 24,$ que no tiene solución con ambos dígitos no nulos y menores que $8.$ Para $(a, b) = (3, 2)$ el lado derecho es $\frac{27}{144} = \frac{12}{64},$ así que $8c + d = 12,$ dando $c = 1$ y $d = 4.$

En efecto, $32.14_{\text{eight}} = 22.23_{\text{twelve}},$ y el número pedido $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ es $321.$

The integer parts must be equal: $8a + b = 12b + b,$ so $8a = 12b,$ that is $2a = 3b.$ Since $a$ and $b$ are nonzero base-eight digits (at most $7$ ), the only options are $(a, b) = (3, 2)$ and $(6, 4).$

The fractional parts must also match: $\frac{c}{8} + \frac{d}{64} = \frac{b}{12} + \frac{a}{144},$ i.e. $\frac{8c + d}{64} = \frac{12b + a}{144}.$ For $(a, b) = (6, 4)$ the right side is $\frac{54}{144} = \frac{24}{64},$ forcing $8c + d = 24,$ which has no solution with both digits nonzero and less than $8.$ For $(a, b) = (3, 2)$ the right side is $\frac{27}{144} = \frac{12}{64},$ so $8c + d = 12,$ giving $c = 1$ and $d = 4.$

Indeed $32.14_{\text{eight}} = 22.23_{\text{twelve}},$ and the requested number $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ is $321.$

2017 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años