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2014 AIME II Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2014 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

Los números reales rr y ss son raíces de p(x)=x3+ax+b,p(x) = x^3 + ax + b, y r+4r + 4 y s−3s - 3 son raíces de q(x)=x3+ax+b+240.q(x) = x^3 + ax + b + 240. Halla la suma de todos los valores posibles de ∣b∣.|b|.
Real numbers rr and ss are roots of p(x)=x3+ax+b,p(x) = x^3 + ax + b, and r+4r + 4 and s−3s - 3 are roots of q(x)=x3+ax+b+240.q(x) = x^3 + ax + b + 240. Find the sum of all possible values of ∣b∣.|b|.
Respuesta: 420
Conceptos:polinomioFórmulas de Vietasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Ninguna de las cúbicas tiene un término x2x^2, así que las terceras raíces son t=−r−st = -r - s y t−1.t - 1. Iguala los coeficientes de xx en las dos cúbicas.
Neither cubic has an x2x^2 term, so the third roots are t=−r−st = -r - s and t−1.t - 1. Equate the coefficients of xx in the two cubics.
Pista grande:
Comparar los términos constantes y sustituir t=4r−3s+13t = 4r - 3s + 13 produce (r−s)2+7(r−s)−8=0;(r-s)^2 + 7(r-s) - 8 = 0; termina cada caso usando r+s+t=0.r + s + t = 0.
Comparing constant terms and substituting t=4r−3s+13t = 4r - 3s + 13 yields (r−s)2+7(r−s)−8=0;(r-s)^2 + 7(r-s) - 8 = 0; finish each case using r+s+t=0.r + s + t = 0.
Solución:
Ambas cúbicas tienen coeficiente x2x^2 igual a cero, así que sus raíces suman 0:0: la tercera raíz de pp es t=−r−s,t = -r - s, y la tercera raíz de qq es −(r+4)−(s−3)=t−1.-(r+4) - (s-3) = t - 1. El coeficiente de xx es aa en ambas, así que rs+st+tr=(r+4)(s−3)+(s−3)(t−1)+(t−1)(r+4), \begin{aligned} &rs + st + tr \\ &= (r+4)(s-3) \\ &\quad {}+ (s-3)(t-1) \\ &\quad {}+ (t-1)(r+4), \end{aligned} lo cual se simplifica a t=4r−3s+13.t = 4r - 3s + 13.
Los términos constantes dan b=−rstb = -rst y b+240=b + 240 = −(r+4)(s−3)(t−1),-(r+4)(s-3)(t-1), así que 240=240 = rst−(r+4)(s−3)(t−1),rst - (r+4)(s-3)(t-1), es decir rs−4st+3tr−3rrs - 4st + 3tr - 3r +4s+12t−252=0.+ 4s + 12t - 252 = 0. Sustituir t=4r−3s+13t = 4r - 3s + 13 reduce esto a 12[(r−s)2+7(r−s)−8]=0,12\left[(r-s)^2 + 7(r-s) - 8\right] = 0, así que r−s=1r - s = 1 o r−s=−8.r - s = -8.
Si r−s=1,r - s = 1, entonces t=4r−3s+13=r+16t = 4r - 3s + 13 = r + 16 y t=−r−s=−2r+1,t = -r - s = -2r + 1, así que r=−5:r = -5: las raíces son −5,-5, −6,-6, 11,11, y b=−rst=−330.b = -rst = -330. Si r−s=−8,r - s = -8, entonces t=r−11=−2r−8,t = r - 11 = -2r - 8, así que r=1:r = 1: las raíces son 1,1, 9,9, −10,-10, y b=90.b = 90. La suma pedida es 330+90=420.330 + 90 = 420.
Both cubics have zero x2x^2 coefficient, so their roots sum to 0:0: the third root of pp is t=−r−s,t = -r - s, and the third root of qq is −(r+4)−(s−3)=t−1.-(r+4) - (s-3) = t - 1. The coefficient of xx is aa in both, so rs+st+tr=(r+4)(s−3)+(s−3)(t−1)+(t−1)(r+4), \begin{aligned} &rs + st + tr \\ &= (r+4)(s-3) \\ &\quad {}+ (s-3)(t-1) \\ &\quad {}+ (t-1)(r+4), \end{aligned} which simplifies to t=4r−3s+13.t = 4r - 3s + 13.
The constant terms give b=−rstb = -rst and b+240=b + 240 = −(r+4)(s−3)(t−1),-(r+4)(s-3)(t-1), so 240=240 = rst−(r+4)(s−3)(t−1),rst - (r+4)(s-3)(t-1), i.e. rs−4st+3tr−3rrs - 4st + 3tr - 3r +4s+12t−252=0.+ 4s + 12t - 252 = 0. Substituting t=4r−3s+13t = 4r - 3s + 13 reduces this to 12[(r−s)2+7(r−s)−8]=0,12\left[(r-s)^2 + 7(r-s) - 8\right] = 0, so r−s=1r - s = 1 or r−s=−8.r - s = -8.
If r−s=1,r - s = 1, then t=4r−3s+13=r+16t = 4r - 3s + 13 = r + 16 and t=−r−s=−2r+1,t = -r - s = -2r + 1, so r=−5:r = -5: the roots are −5,-5, −6,-6, 11,11, and b=−rst=−330.b = -rst = -330. If r−s=−8,r - s = -8, then t=r−11=−2r−8,t = r - 11 = -2r - 8, so r=1:r = 1: the roots are 1,1, 9,9, −10,-10, and b=90.b = 90. The requested sum is 330+90=420.330 + 90 = 420.
Problema 4#4
Examen completo
Problema 6#6

El Problema 5 en otros años

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