Question

Los decimales periódicos $0.abab\overline{ab}$ y $0.abcabc\overline{abc}$ satisfacen $0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son dígitos (no necesariamente distintos). Halla el número de tres cifras $abc.$

The repeating decimals $0.abab\overline{ab}$ and $0.abcabc\overline{abc}$ satisfy $0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are (not necessarily distinct) digits. Find the three-digit number $abc.$

Respuesta

Solución:

Escribiendo $ab$ y $abc$ para los números de dos y tres cifras, los decimales son iguales a $\frac{ab}{99}$ y $\frac{abc}{999}.$ Como $99 = 9 \cdot 11$ y $999 = 27 \cdot 37,$ el denominador común es $27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,$ y multiplicar la ecuación por él da $\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}$

Módulo $11,$ como $9801 = 11 \cdot 891$ y $111 \equiv 1,$ esto obliga a que $11 \mid ab,$ así que $a = b.$ Entonces $ab = 11a,$ y dividir la ecuación entre $11$ da $111a + abc = 891.$ Como $abc = 110a + c,$ esto es $221a + c = 891,$ lo cual requiere $a = 4$ y $c = 7.$

Por tanto $a = b = 4,$ $c = 7,$ y el número de tres cifras $abc$ es $447.$

Writing $ab$ and $abc$ for the two- and three-digit numbers, the decimals equal $\frac{ab}{99}$ and $\frac{abc}{999}.$ Since $99 = 9 \cdot 11$ and $999 = 27 \cdot 37,$ the common denominator is $27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,$ and multiplying the equation by it gives $\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}$

Modulo $11,$ since $9801 = 11 \cdot 891$ and $111 \equiv 1,$ this forces $11 \mid ab,$ so $a = b.$ Then $ab = 11a,$ and dividing the equation by $11$ gives $111a + abc = 891.$ Since $abc = 110a + c,$ this is $221a + c = 891,$ which requires $a = 4$ and $c = 7.$

Thus $a = b = 4,$ $c = 7,$ and the three-digit number $abc$ is $447.$

2014 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años