Question

Los decimales periódicos

0.abab\overline{ab}

y

0.abcabc\overline{abc}

satisfacen

0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},

donde

a,

b,

y

c

son dígitos (no necesariamente distintos). Halla el número de tres cifras

abc.

The repeating decimals

0.abab\overline{ab}

and

0.abcabc\overline{abc}

satisfy

0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},

where

a,

b,

and

c

are (not necessarily distinct) digits. Find the three-digit number

abc.

Respuesta

Respuesta: 447

Conceptos:decimal periódico dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Escribe los decimales como

\frac{ab}{99}

y

\frac{abc}{999},

luego elimina los denominadores usando

99 = 9 \cdot 11

y

999 = 27 \cdot 37

Write the decimals as

\frac{ab}{99}

and

\frac{abc}{999},

then clear denominators using

99 = 9 \cdot 11

and

999 = 27 \cdot 37

Pista grande:

Reducir la ecuación módulo

11

obliga a que

a = b;

luego una breve ecuación lineal fija los dígitos

Reducing the equation modulo

11

forces

a = b;

then a short linear equation pins down the digits

Solución:

Escribiendo

ab

y

abc

para los números de dos y tres cifras, los decimales son iguales a

\frac{ab}{99}

y

\frac{abc}{999}.

Como

99 = 9 \cdot 11

y

999 = 27 \cdot 37,

el denominador común es

27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,

y multiplicar la ecuación por él da

\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}

Módulo

11,

como

9801 = 11 \cdot 891

y

111 \equiv 1,

esto obliga a que

ab

sea divisible por

11,

así que

a = b.

Entonces

ab = 11a,

y dividir la ecuación entre

11

da

111a + abc = 891.

Como

abc = 110a + c,

esto es

221a + c = 891,

lo cual requiere

a = 4

y

c = 7.

Por tanto

a = b = 4,

c = 7,

y el número de tres cifras

abc

es

447.

Writing

ab

and

abc

for the two- and three-digit numbers, the decimals equal

\frac{ab}{99}

and

\frac{abc}{999}.

Since

99 = 9 \cdot 11

and

999 = 27 \cdot 37,

the common denominator is

27 \cdot 37 \cdot 11 = 10989,

and multiplying the equation by it gives

\begin{aligned} &111 \cdot ab + 11 \cdot abc \\ &= \frac{33}{37} \cdot 10989 \\ &= 9801. \end{aligned}

Modulo

11,

since

9801 = 11 \cdot 891

and

111 \equiv 1,

this forces

ab

to be divisible by

11,

so

a = b.

Then

ab = 11a,

and dividing the equation by

11

gives

111a + abc = 891.

Since

abc = 110a + c,

this is

221a + c = 891,

which requires

a = 4

and

c = 7.

Thus

a = b = 4,

c = 7,

and the three-digit number

abc

is

447.

2014 AIME II Problema 4

Respuesta: 447

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años