Question

En un tetraedro regular, los centros de las cuatro caras son los vértices de un tetraedro más pequeño. La razón entre el volumen del tetraedro más pequeño y el del más grande es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In a regular tetrahedron, the centers of the four faces are the vertices of a smaller tetrahedron. The ratio of the volume of the smaller tetrahedron to that of the larger is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Usa vectores de posición, y sea $G = \frac{A + B + C + D}{4}$ el centroide del tetraedro. El centro de la cara opuesta a $A$ es $\begin{aligned} \frac{B + C + D}{3} &= \frac{4G - A}{3} \\ &= G - \frac{1}{3}(A - G), \end{aligned}$ así que cada centro de cara es la imagen del vértice opuesto bajo la homotecia centrada en $G$ con razón $-\frac{1}{3}.$

Por lo tanto, el tetraedro más pequeño es semejante al más grande con razón $\frac{1}{3},$ y su volumen es $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ del más grande. Así $m + n = 1 + 27 = 28.$

Use position vectors, and let $G = \frac{A + B + C + D}{4}$ be the centroid of the tetrahedron. The center of the face opposite $A$ is $\begin{aligned} \frac{B + C + D}{3} &= \frac{4G - A}{3} \\ &= G - \frac{1}{3}(A - G), \end{aligned}$ so each face center is the image of the opposite vertex under the homothety centered at $G$ with ratio $-\frac{1}{3}.$

Hence the smaller tetrahedron is similar to the larger with ratio $\frac{1}{3},$ and its volume is $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ of the larger. Thus $m + n = 1 + 27 = 28.$

2003 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años