Question

Define una palabra buena como una secuencia de letras que consta únicamente de las letras $A,$ $B,$ y $C$ (algunas de estas letras pueden no aparecer en la secuencia), en la que $A$ nunca va seguida inmediatamente de $B,$ $B$ nunca va seguida inmediatamente de $C,$ y $C$ nunca va seguida inmediatamente de $A.$ ¿Cuántas palabras buenas de siete letras hay?

Define a good word as a sequence of letters that consists only of the letters $A,$ $B,$ and $C$ — some of these letters may not appear in the sequence — and in which $A$ is never immediately followed by $B,$ $B$ is never immediately followed by $C,$ and $C$ is never immediately followed by $A.$ How many seven-letter good words are there?

Respuesta

Solución:

Cada letra descarta exactamente un sucesor ( $A$ prohíbe $B,$ $B$ prohíbe $C,$ $C$ prohíbe $A$ ), así que sea cual sea la letra recién escrita, exactamente $2$ de las $3$ letras pueden venir a continuación.

Con $3$ opciones para la primera letra y $2$ para cada una de las seis posiciones restantes, el número de palabras buenas de siete letras es $3 \cdot 2^6 = 192.$

Each letter rules out exactly one successor ( $A$ forbids $B,$ $B$ forbids $C,$ $C$ forbids $A$ ), so whatever letter has just been written, exactly $2$ of the $3$ letters may come next.

With $3$ choices for the first letter and $2$ for each of the remaining six positions, the number of seven-letter good words is $3 \cdot 2^6 = 192.$

2003 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años