Question

Una baraja de cuarenta cartas consta de cuatro $1$ , cuatro $2$ , $\ldots$ , y cuatro $10$ . Se retira de la baraja una pareja coincidente (dos cartas con el mismo número). Dado que esas cartas no se devuelven a la baraja, sea $m/n$ la probabilidad de que dos cartas elegidas al azar también formen una pareja, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n$ .

A deck of forty cards consists of four $1$ 's, four $2$ 's, $\ldots,$ and four $10$ 's. A matching pair (two cards with the same number) is removed from the deck. Given that these cards are not returned to the deck, let $m/n$ be the probability that two randomly selected cards also form a pair, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Después de retirar la pareja coincidente, quedan $38$ cartas: nueve números con cuatro cartas cada uno y un número con solo dos cartas. El número de maneras de sacar una pareja es $9\binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 54 + 1 = 55$ , de un total de $\binom{38}{2} = 703$ extracciones igualmente probables.

Como $703 = 19 \cdot 37$ no comparte ningún factor con $55 = 5 \cdot 11$ , la probabilidad $\frac{55}{703}$ está en su forma más simple, y $m + n = 55 + 703 = 758$ .

After the matching pair is removed, $38$ cards remain: nine numbers with four cards each and one number with only two cards. The number of ways to draw a pair is $9\binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 54 + 1 = 55,$ out of $\binom{38}{2} = 703$ equally likely draws.

Since $703 = 19 \cdot 37$ shares no factor with $55 = 5 \cdot 11,$ the probability $\frac{55}{703}$ is in lowest terms, and $m + n = 55 + 703 = 758.$

2000 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años