Question

Una baraja de cuarenta cartas consta de cuatro $1$ , cuatro $2$ , $\ldots,$ y cuatro $10$ . Se retira de la baraja un par de cartas iguales (dos cartas con el mismo número). Dado que esas cartas no se devuelven a la baraja, sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que dos cartas elegidas al azar también formen un par, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A deck of forty cards consists of four $1$ ’s, four $2$ ’s, $\ldots,$ and four $10$ ’s. A matching pair (two cards with the same number) is removed from the deck. Given that these cards are not returned to the deck, let $\frac{m}{n}$ be the probability that two randomly selected cards also form a pair, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 758

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Tras retirar el par, quedan $38$ cartas: nueve números con cuatro cartas cada uno y un número con solo dos.

After the pair is removed, $38$ cards remain: nine numbers with four cards each and one number with only two

Pista grande:

Cuenta los pares favorables como $9\binom{4}{2} + \binom{2}{2}$ entre las $\binom{38}{2}$ extracciones igualmente probables.

Count the favorable pairs as $9\binom{4}{2} + \binom{2}{2}$ out of $\binom{38}{2}$ equally likely draws

Solución:

Después de retirar el par de cartas iguales, quedan $38$ cartas: nueve números con cuatro cartas cada uno y un número con solo dos cartas. El número de maneras de sacar un par es $9\binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 54 + 1 = 55,$ de un total de $\binom{38}{2} = 703$ extracciones igualmente probables.

Como $703 = 19 \cdot 37$ no comparte ningún factor con $55 = 5 \cdot 11,$ la probabilidad $\frac{55}{703}$ está en su forma más simple, y $m + n = 55 + 703 = 758.$

After the matching pair is removed, $38$ cards remain: nine numbers with four cards each and one number with only two cards. The number of ways to draw a pair is $9\binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 54 + 1 = 55,$ out of $\binom{38}{2} = 703$ equally likely draws.

Since $703 = 19 \cdot 37$ shares no factor with $55 = 5 \cdot 11,$ the probability $\frac{55}{703}$ is in lowest terms, and $m + n = 55 + 703 = 758.$

2000 AIME II Problema 3

Respuesta: 758

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años