Question

El número complejo $z$ es igual a $9 + bi,$ donde $b$ es un número real positivo e $i^2 = -1.$ Dado que las partes imaginarias de $z^2$ y $z^3$ son iguales, halla $b.$

The complex number $z$ is equal to $9 + bi,$ where $b$ is a positive real number and $i^2 = -1.$ Given that the imaginary parts of $z^2$ and $z^3$ are equal, find $b.$

Respuesta

Solución:

Por el teorema del binomio, $z^2 = (81 - b^2) + 18bi$ y $z^3 = (729 - 27b^2)$ $+ (243b - b^3)i.$ Igualar las partes imaginarias da $18b = 243b - b^3.$

Como $b$ es positivo, podemos dividir entre $b,$ lo que deja $b^2 = 243 - 18 = 225,$ así que $b = 15.$

By the binomial theorem, $z^2 = (81 - b^2) + 18bi$ and $z^3 = (729 - 27b^2)$ $+ (243b - b^3)i.$ Setting the imaginary parts equal gives $18b = 243b - b^3.$

Since $b$ is positive we may divide by $b,$ leaving $b^2 = 243 - 18 = 225,$ so $b = 15.$

2007 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años