Question

Sea $P$ el producto de los primeros $100$ enteros impares positivos. Halla el mayor entero $k$ tal que $P$ sea divisible por $3^k.$

Let $P$ be the product of the first $100$ positive odd integers. Find the largest integer $k$ such that $P$ is divisible by $3^k.$

Respuesta

Respuesta: 49

Conceptos:factorización en primos divisibilidad

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Cuenta cuántos de $1, 3, 5, \ldots, 199$ son divisibles por $3,$ luego por $9,$ por $27,$ y por $81.$

Count how many of $1, 3, 5, \ldots, 199$ are divisible by $3,$ then by $9,$ by $27,$ and by $81.$

Pista grande:

Cada capa de divisibilidad añade un factor $3$ más por cada término que sobrevive, así que $k$ es la suma de los cuatro recuentos.

Each divisibility layer adds one more factor of $3$ per surviving term, so $k$ is the sum of the four counts.

Solución:

$P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 199,$ así que $k$ es el número total de factores de $3$ entre los números impares hasta $199.$ Los múltiplos impares de $3$ son $3 \cdot 1, 3 \cdot 3, \ldots, 3 \cdot 65,$ y hay $33$ de ellos. Los múltiplos impares de $9$ son $9 \cdot 1, \ldots, 9 \cdot 21:$ $11$ de ellos. Los múltiplos impares de $27$ son $27, 81, 135, 189:$ $4$ de ellos. El único múltiplo impar de $81$ que no supera $199$ es $81$ mismo, y no hay múltiplos de $243.$

Cada capa aporta un factor adicional de $3,$ así que $k = 33 + 11 + 4 + 1 = 49.$

$P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 199,$ so $k$ is the total number of factors of $3$ among the odd numbers up to $199.$ The odd multiples of $3$ are $3 \cdot 1, 3 \cdot 3, \ldots, 3 \cdot 65,$ and there are $33$ of them. The odd multiples of $9$ are $9 \cdot 1, \ldots, 9 \cdot 21:$ $11$ of them. The odd multiples of $27$ are $27, 81, 135, 189:$ $4$ of them. The only odd multiple of $81$ at most $199$ is $81$ itself, and there are no multiples of $243.$

Each layer contributes one additional factor of $3,$ so $k = 33 + 11 + 4 + 1 = 49.$

2006 AIME II Problema 3

Respuesta: 49

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años