Question

En $\triangle PQR,$ $PR = 15,$ $QR = 20,$ y $PQ = 25.$ Los puntos $A$ y $B$ están en $\overline{PQ},$ los puntos $C$ y $D$ están en $\overline{QR},$ y los puntos $E$ y $F$ están en $\overline{PR},$ con $PA = QB = QC$ $= RD = RE = PF = 5.$ Halle el área del hexágono $ABCDEF.$

In $\triangle PQR,$ $PR = 15,$ $QR = 20,$ and $PQ = 25.$ Points $A$ and $B$ lie on $\overline{PQ},$ points $C$ and $D$ lie on $\overline{QR},$ and points $E$ and $F$ lie on $\overline{PR},$ with $PA = QB = QC$ $= RD = RE = PF = 5.$ Find the area of hexagon $ABCDEF.$

Respuesta

Solución:

Como $15^2 + 20^2 = 25^2,$ el triángulo es rectángulo en $R,$ y su área es $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150.$ Además $\sin P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$ y $\sin Q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}.$

El hexágono es el triángulo menos tres triángulos de esquina, cada uno con dos lados de longitud $5:$ en $P,$ área $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 10;$ en $Q,$ área $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{2};$ en $R,$ área $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}.$

Por lo tanto el hexágono tiene área $150 - 10 - \frac{15}{2} - \frac{25}{2} = 120.$

Since $15^2 + 20^2 = 25^2,$ the triangle is right-angled at $R,$ and its area is $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150.$ Also $\sin P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$ and $\sin Q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}.$

The hexagon is the triangle minus three corner triangles, each with two sides of length $5:$ at $P,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 10;$ at $Q,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{2};$ at $R,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}.$

Therefore the hexagon has area $150 - 10 - \frac{15}{2} - \frac{25}{2} = 120.$

2019 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años