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2019 AIME I Problema 3

Intenta el Problema 3 del 2019 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

3.

En △PQR,\triangle PQR, PR=15,PR = 15, QR=20,QR = 20, y PQ=25.PQ = 25. Los puntos AA y BB están en PQ‾,\overline{PQ}, los puntos CC y DD están en QR‾,\overline{QR}, y los puntos EE y FF están en PR‾,\overline{PR}, con PA=QB=QCPA = QB = QC =RD=RE=PF=5.= RD = RE = PF = 5. Halle el área del hexágono ABCDEF.ABCDEF.
In △PQR,\triangle PQR, PR=15,PR = 15, QR=20,QR = 20, and PQ=25.PQ = 25. Points AA and BB lie on PQ‾,\overline{PQ}, points CC and DD lie on QR‾,\overline{QR}, and points EE and FF lie on PR‾,\overline{PR}, with PA=QB=QCPA = QB = QC =RD=RE=PF=5.= RD = RE = PF = 5. Find the area of hexagon ABCDEF.ABCDEF.
Respuesta: 120
Conceptos:área del triángulodescomposición de áreastriángulo rectángulo
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Como 152+202=252,15^2 + 20^2 = 25^2, el triángulo tiene un ángulo recto en RR
Since 152+202=252,15^2 + 20^2 = 25^2, the triangle has a right angle at RR
Pista grande:
Reste los tres triángulos de las esquinas de △PQR;\triangle PQR; cada triángulo de esquina tiene dos lados de longitud 55 alrededor de un ángulo conocido, así que su área es 12⋅25⋅sin⁡(aˊngulo)\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \sin(\text{ángulo})
Subtract the three corner triangles from △PQR;\triangle PQR; each corner triangle has two sides of length 55 around a known angle, so its area is 12⋅25⋅sin⁡(angle)\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \sin(\text{angle})
Solución:
Como 152+202=252,15^2 + 20^2 = 25^2, el triángulo es rectángulo en R,R, y su área es 12⋅15⋅20=150.\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150. Además sin⁡P=2025=45\sin P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} y sin⁡Q=1525=35.\sin Q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}.
El hexágono es el triángulo menos tres triángulos de esquina, cada uno con dos lados de longitud 5:5: en P,P, área 12⋅5⋅5⋅45=10;\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 10; en Q,Q, área 12⋅5⋅5⋅35=152;\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{2}; en R,R, área 12⋅5⋅5=252.\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}.
Por lo tanto el hexágono tiene área 150−10−152−252=120.150 - 10 - \frac{15}{2} - \frac{25}{2} = 120.
Since 152+202=252,15^2 + 20^2 = 25^2, the triangle is right-angled at R,R, and its area is 12⋅15⋅20=150.\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150. Also sin⁡P=2025=45\sin P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} and sin⁡Q=1525=35.\sin Q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}.
The hexagon is the triangle minus three corner triangles, each with two sides of length 5:5: at P,P, area 12⋅5⋅5⋅45=10;\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 10; at Q,Q, area 12⋅5⋅5⋅35=152;\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{2}; at R,R, area 12⋅5⋅5=252.\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}.
Therefore the hexagon has area 150−10−152−252=120.150 - 10 - \frac{15}{2} - \frac{25}{2} = 120.
Problema 2#2
Examen completo
Problema 4#4

El Problema 3 en otros años

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