Question

Un bloque rectangular sólido se forma pegando cara con cara $N$ cubos congruentes de $1$ cm. Cuando el bloque se observa de modo que tres de sus caras son visibles, exactamente $231$ de los cubos de $1$ cm no pueden verse. Halla el menor valor posible de $N.$

A solid rectangular block is formed by gluing together $N$ congruent $1$ -cm cubes face to face. When the block is viewed so that three of its faces are visible, exactly $231$ of the $1$ -cm cubes cannot be seen. Find the smallest possible value of $N.$

Respuesta

Solución:

Sea el bloque de dimensiones $p \times q \times r.$ Un cubo queda oculto exactamente cuando no toca ninguna de las tres caras visibles, así que los cubos ocultos forman un bloque $(p-1) \times (q-1) \times (r-1)$ , lo que da $(p-1)(q-1)(r-1) = 231$ $= 3 \cdot 7 \cdot 11.$

Las maneras de escribir $231$ como producto de tres enteros positivos son $3 \cdot 7 \cdot 11,$ $1 \cdot 3 \cdot 77,$ $1 \cdot 7 \cdot 33,$ $1 \cdot 11 \cdot 21,$ y $1 \cdot 1 \cdot 231,$ que dan los bloques $4 \times 8 \times 12,$ $2 \times 4 \times 78,$ $2 \times 8 \times 34,$ $2 \times 12 \times 22,$ y $2 \times 2 \times 232,$ con volúmenes $384,$ $624,$ $544,$ $528,$ y $928.$

El menor es $N = 384.$

Let the block measure $p \times q \times r.$ A cube is hidden exactly when it touches none of the three visible faces, so the hidden cubes form a $(p-1) \times (q-1) \times (r-1)$ block, giving $(p-1)(q-1)(r-1) = 231$ $= 3 \cdot 7 \cdot 11.$

The ways to write $231$ as a product of three positive integers are $3 \cdot 7 \cdot 11,$ $1 \cdot 3 \cdot 77,$ $1 \cdot 7 \cdot 33,$ $1 \cdot 11 \cdot 21,$ and $1 \cdot 1 \cdot 231,$ giving blocks $4 \times 8 \times 12,$ $2 \times 4 \times 78,$ $2 \times 8 \times 34,$ $2 \times 12 \times 22,$ and $2 \times 2 \times 232,$ with volumes $384,$ $624,$ $544,$ $528,$ and $928.$

The smallest is $N = 384.$

2004 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años