Question

En cierta universidad, la división de ciencias matemáticas consta de los departamentos de matemáticas, estadística y ciencias de la computación. En cada departamento hay dos profesores y dos profesoras. Se debe formar un comité de seis docentes que contenga tres hombres y tres mujeres y que además contenga dos integrantes de cada uno de los tres departamentos. Halle el número de comités que cumplen estos requisitos.

At a certain university, the division of mathematical sciences consists of the departments of mathematics, statistics, and computer science. There are two male and two female professors in each department. A committee of six professors is to contain three men and three women and must also contain two professors from each of the three departments. Find the number of possible committees that can be formed subject to these requirements.

Respuesta

Respuesta: 88

Conceptos:combinaciones arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Cada departamento aporta exactamente dos miembros; clasifique según cómo se reparten los tres hombres entre los departamentos.

Each department contributes exactly two members; classify by how the three men are spread across the departments

Pista grande:

O bien cada departamento envía un hombre y una mujer, o bien un departamento envía dos hombres, otro envía dos mujeres, y el tercero envía uno de cada.

Either every department sends one man and one woman, or one department sends two men, another sends two women, and the third sends one of each

Solución:

Cada departamento aporta exactamente dos miembros del comité. Si cada departamento envía un hombre y una mujer, hay $2 \cdot 2 = 4$ opciones por departamento, para $4^3 = 64$ comités.

En caso contrario, algún departamento envía dos hombres. Para mantener tres de cada género, otro departamento debe entonces enviar sus dos mujeres, y el departamento restante envía un hombre y una mujer. Hay $3$ formas de elegir el departamento que aporta solo hombres, $2$ formas de elegir el que aporta solo mujeres, y $2 \cdot 2 = 4$ opciones en el departamento mixto (las selecciones de dos hombres y dos mujeres están forzadas), para $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ comités.

El total es $64 + 24 = 88.$

Each department contributes exactly two committee members. If every department sends one man and one woman, there are $2 \cdot 2 = 4$ choices per department, for $4^3 = 64$ committees.

Otherwise some department sends two men. To keep three of each gender, another department must then send its two women, and the remaining department sends one man and one woman. There are $3$ ways to pick the all-male department, $2$ ways to pick the all-female department, and $2 \cdot 2 = 4$ choices in the mixed department (the two-man and two-woman selections are forced), for $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ committees.

The total is $64 + 24 = 88.$

2012 AIME II Problema 3

Respuesta: 88

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años