Question

Una pirámide recta de base cuadrada con volumen $54$ tiene una base de lado $6.$ Los cinco vértices de la pirámide están todos sobre una esfera de radio $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A right square pyramid with volume $54$ has a base with side length $6.$ The five vertices of the pyramid all lie on a sphere with radius $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

La base tiene área $36,$ así que $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot h = 54$ da la altura $h = \frac{9}{2}.$ Por simetría, el centro de la esfera está sobre el eje de la pirámide, digamos a altura $z$ sobre la base. Cada vértice de la base está a distancia $3\sqrt{2}$ del eje, así que la distancia del centro a un vértice de la base es $\sqrt{z^2 + 18},$ mientras que su distancia al ápice es $\frac{9}{2} - z.$

Igualando $\left(\frac{9}{2} - z\right)^2 = z^2 + 18$ se obtiene $\frac{81}{4} - 9z = 18,$ por lo que $z = \frac{1}{4}.$ El radio es $\frac{9}{2} - \frac{1}{4} = \frac{17}{4},$ y $m + n = 17 + 4 = 21.$

The base has area $36,$ so $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot h = 54$ gives height $h = \frac{9}{2}.$ By symmetry the sphere's center lies on the pyramid's axis, say at height $z$ above the base. Each base vertex is at distance $3\sqrt{2}$ from the axis, so the center's distance to a base vertex is $\sqrt{z^2 + 18},$ while its distance to the apex is $\frac{9}{2} - z.$

Setting $\left(\frac{9}{2} - z\right)^2 = z^2 + 18$ gives $\frac{81}{4} - 9z = 18,$ so $z = \frac{1}{4}.$ The radius is $\frac{9}{2} - \frac{1}{4} = \frac{17}{4},$ and $m + n = 17 + 4 = 21.$

2022 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años