Question

Cuatro cuadrados unitarios forman una cuadrícula de $2 \times 2$ . Cada uno de los $12$ segmentos unitarios que forman los lados de los cuadrados se colorea de rojo o azul de modo que cada cuadrado unitario tenga $2$ lados rojos y $2$ lados azules. Abajo se muestra un ejemplo (rojo es sólido, azul es punteado). Halla el número de tales coloraciones.

Four unit squares form a $2 \times 2$ grid. Each of the $12$ unit line segments forming the sides of the squares is colored either red or blue in such a way that each unit square has $2$ red sides and $2$ blue sides. One example is shown below (red is solid, blue is dashed). Find the number of such colorings.

Respuesta

Solución:

Los $12$ segmentos se dividen en los $4$ segmentos interiores que forman la cruz central y $8$ segmentos de frontera, y cada cuadrado unitario tiene exactamente dos lados interiores (sus dos brazos de la cruz) y dos lados de frontera. Colorea primero la cruz. Un cuadrado que ya tiene $j$ lados interiores rojos necesita $2 - j$ lados de frontera rojos, que se pueden elegir de $\binom{2}{2-j}$ maneras: $1$ manera si $j = 0$ o $j = 2,$ y $2$ maneras si $j = 1.$

Agrupa las $2^4 = 16$ coloraciones de la cruz según el conjunto de brazos rojos. Si los cuatro brazos tienen el mismo color ( $2$ coloraciones), cada cuadrado tiene $j = 0$ o $j = 2,$ aportando $1$ cada uno: total $2.$ Si exactamente un brazo es rojo o exactamente uno es azul ( $8$ coloraciones), los dos cuadrados que tocan el brazo distinto tienen $j = 1$ y los otros no, aportando $2 \cdot 2 = 4$ cada uno: total $32.$ Si dos brazos adyacentes son rojos ( $4$ coloraciones), los cuadrados tienen $j = 2, 1, 1, 0,$ aportando $4$ cada uno: total $16.$ Si dos brazos opuestos son rojos ( $2$ coloraciones), los cuatro cuadrados tienen $j = 1,$ aportando $2^4 = 16$ cada uno: total $32.$

El número de coloraciones es $2 + 32 + 16 + 32 = 82.$

The $12$ segments split into the $4$ interior segments forming the central cross and $8$ boundary segments, and each unit square has exactly two interior sides (its two cross arms) and two boundary sides. Color the cross first. A square that already has $j$ red interior sides needs $2 - j$ red boundary sides, which can be chosen in $\binom{2}{2-j}$ ways: $1$ way if $j = 0$ or $j = 2,$ and $2$ ways if $j = 1.$

Group the $2^4 = 16$ cross colorings by the set of red arms. If all four arms have the same color ( $2$ colorings), every square has $j = 0$ or $j = 2,$ contributing $1$ each: total $2.$ If exactly one arm is red or exactly one is blue ( $8$ colorings), the two squares touching the odd arm have $j = 1$ and the others do not, contributing $2 \cdot 2 = 4$ each: total $32.$ If two adjacent arms are red ( $4$ colorings), the squares have $j = 2, 1, 1, 0,$ contributing $4$ each: total $16.$ If two opposite arms are red ( $2$ colorings), all four squares have $j = 1,$ contributing $2^4 = 16$ each: total $32.$

The number of colorings is $2 + 32 + 16 + 32 = 82.$

2025 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años