Question

Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles con $\angle A = 90^\circ.$ Existe un punto $P$ dentro de $\triangle ABC$ tal que $\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$ y $AP = 10.$ Halla el área de $\triangle ABC.$

Let $\triangle ABC$ be an isosceles triangle with $\angle A = 90^\circ.$ There exists a point $P$ inside $\triangle ABC$ such that $\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$ and $AP = 10.$ Find the area of $\triangle ABC.$

Respuesta

Solución:

Sea $\omega$ el ángulo común y $L = AB = AC.$ Como $\angle PAB = \omega,$ tenemos $\angle PAC = 90^\circ - \omega,$ y con $\angle PCA = \omega$ los ángulos del triángulo $APC$ dan $\angle APC = 90^\circ.$ Por lo tanto, en el triángulo rectángulo $APC,$ $L = AC = \frac{AP}{\sin\omega} = \frac{10}{\sin\omega}.$

En el triángulo $ABP,$ el ángulo en $A$ es $\omega$ y el ángulo en $B$ es $45^\circ - \omega,$ así que $\angle APB = 135^\circ.$ La ley de senos da $\frac{AP}{\sin(45^\circ - \omega)} = \frac{AB}{\sin 135^\circ},$ es decir, $10 \sin 135^\circ = L \sin(45^\circ - \omega).$ Sustituyendo $L = \frac{10}{\sin\omega}$ y desarrollando se obtiene $\begin{aligned} \sin\omega &= \sqrt{2}\,\sin(45^\circ - \omega) \\ &= \cos\omega - \sin\omega, \end{aligned}$ así que $\tan\omega = \frac{1}{2}$ y $\sin^2\omega = \frac{1}{5}.$

Por lo tanto $L^2 = \frac{100}{\sin^2\omega} = 500,$ y el área es $\frac{1}{2}L^2 = 250.$

Let $\omega$ denote the common angle and $L = AB = AC.$ Since $\angle PAB = \omega,$ we have $\angle PAC = 90^\circ - \omega,$ and with $\angle PCA = \omega$ the angles of triangle $APC$ give $\angle APC = 90^\circ.$ Hence in right triangle $APC,$ $L = AC = \frac{AP}{\sin\omega} = \frac{10}{\sin\omega}.$

In triangle $ABP,$ the angle at $A$ is $\omega$ and the angle at $B$ is $45^\circ - \omega,$ so $\angle APB = 135^\circ.$ The law of sines gives $\frac{AP}{\sin(45^\circ - \omega)} = \frac{AB}{\sin 135^\circ},$ that is, $10 \sin 135^\circ = L \sin(45^\circ - \omega).$ Substituting $L = \frac{10}{\sin\omega}$ and expanding yields $\begin{aligned} \sin\omega &= \sqrt{2}\,\sin(45^\circ - \omega) \\ &= \cos\omega - \sin\omega, \end{aligned}$ so $\tan\omega = \frac{1}{2}$ and $\sin^2\omega = \frac{1}{5}.$

Therefore $L^2 = \frac{100}{\sin^2\omega} = 500,$ and the area is $\frac{1}{2}L^2 = 250.$

2023 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años