Question

Jane tiene $25$ años. Dick es mayor que Jane. Dentro de $n$ años, donde $n$ es un entero positivo, las edades de Dick y de Jane serán ambas números de dos dígitos y tendrán la propiedad de que la edad de Jane se obtiene intercambiando los dígitos de la edad de Dick. Sea $d$ la edad actual de Dick. ¿Cuántos pares ordenados de enteros positivos $(d, n)$ son posibles?

Jane is $25$ years old. Dick is older than Jane. In $n$ years, where $n$ is a positive integer, Dick's age and Jane's age will both be two-digit numbers and will have the property that Jane's age is obtained by interchanging the digits of Dick's age. Let $d$ be Dick's present age. How many ordered pairs of positive integers $(d, n)$ are possible?

Respuesta

Solución:

Dentro de $n$ años la edad de Jane es $25 + n,$ y la edad de Dick es su inversión de dígitos. Si la edad futura de Jane es $10a + b,$ la de Dick es $10b + a,$ que es mayor exactamente cuando $b \gt a.$ Recíprocamente, todo valor de dos dígitos de $25 + n$ con dígito de las decenas menor que el de las unidades da exactamente un par válido: $n = 10a + b - 25$ y $d = 10b + a - n$ $= 25 + 9(b - a) \gt 25,$ así que Dick es en efecto mayor que Jane ahora.

Así que contamos números de dos dígitos que son al menos $26$ y tienen dígito de las decenas menor que el de las unidades: $4$ que empiezan con $2$ (a saber, $26$ hasta $29$ ), luego $6,$ $5,$ $4,$ $3,$ $2,$ $1$ empezando con $3$ hasta $8.$ El total es $4 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25.$

In $n$ years Jane's age is $25 + n,$ and Dick's age is its digit reversal. If Jane's future age is $10a + b,$ Dick's is $10b + a,$ which is larger exactly when $b \gt a.$ Conversely, every two-digit value of $25 + n$ with tens digit less than units digit yields exactly one valid pair: $n = 10a + b - 25$ and $d = 10b + a - n$ $= 25 + 9(b - a) \gt 25,$ so Dick is indeed older than Jane now.

So we count two-digit numbers that are at least $26$ and have tens digit less than units digit: $4$ starting with $2$ (namely $26$ through $29$ ), then $6,$ $5,$ $4,$ $3,$ $2,$ $1$ starting with $3$ through $8.$ The total is $4 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25.$

2002 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años