Question

En el trapecio isósceles $ABCD,$ las bases paralelas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ tienen longitudes $500$ y $650,$ respectivamente, y $AD = BC = 333.$ Las bisectrices de $\angle A$ y $\angle D$ se cortan en $P,$ y las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ se cortan en $Q.$ Halla $PQ.$

In isosceles trapezoid $ABCD,$ parallel bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ have lengths $500$ and $650,$ respectively, and $AD = BC = 333.$ The angle bisectors of $\angle A$ and $\angle D$ meet at $P,$ and the angle bisectors of $\angle B$ and $\angle C$ meet at $Q.$ Find $PQ.$

Respuesta

Solución:

Sea $A'$ el punto donde la bisectriz de $\angle A$ corta a $\overline{CD}.$ Como $\overline{AB} \parallel \overline{CD},$ tenemos $\angle DA'A = \angle A'AB = \angle A'AD,$ así que el triángulo $ADA'$ es isósceles con $DA' = DA = 333.$ La bisectriz de $\angle D$ es entonces la mediana desde $D$ en este triángulo, así que $P,$ que está sobre ambas bisectrices, es el punto medio de $\overline{AA'}.$ Simétricamente, $Q$ es el punto medio de $\overline{BB'},$ donde $B'$ está sobre $\overline{CD}$ con $CB' = 333.$

Coloca $D = (0, 0)$ y $C = (650, 0),$ de modo que $A = (75, h)$ y $B = (575, h)$ para la altura apropiada $h.$ Entonces $A' = (333, 0)$ y $B' = (650 - 333, 0) = (317, 0),$ así que $\begin{aligned} P &= \left(\frac{75 + 333}{2}, \frac{h}{2}\right) \\ &= \left(204, \frac{h}{2}\right), \end{aligned}$ $\begin{aligned} Q &= \left(\frac{575 + 317}{2}, \frac{h}{2}\right) \\ &= \left(446, \frac{h}{2}\right). \end{aligned}$

Por lo tanto $PQ = 446 - 204 = 242.$

Let the bisector of $\angle A$ meet $\overline{CD}$ at $A'.$ Since $\overline{AB} \parallel \overline{CD},$ we have $\angle DA'A = \angle A'AB = \angle A'AD,$ so triangle $ADA'$ is isosceles with $DA' = DA = 333.$ The bisector of $\angle D$ is then the median from $D$ in this triangle, so $P,$ which lies on both bisectors, is the midpoint of $\overline{AA'}.$ Symmetrically, $Q$ is the midpoint of $\overline{BB'},$ where $B'$ is on $\overline{CD}$ with $CB' = 333.$

Place $D = (0, 0)$ and $C = (650, 0),$ so $A = (75, h)$ and $B = (575, h)$ for the appropriate height $h.$ Then $A' = (333, 0)$ and $B' = (650 - 333, 0) = (317, 0),$ so $\begin{aligned} P &= \left(\frac{75 + 333}{2}, \frac{h}{2}\right) \\ &= \left(204, \frac{h}{2}\right), \end{aligned}$ $\begin{aligned} Q &= \left(\frac{575 + 317}{2}, \frac{h}{2}\right) \\ &= \left(446, \frac{h}{2}\right). \end{aligned}$

Therefore $PQ = 446 - 204 = 242.$

2022 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años