Question

Un plano contiene $40$ rectas, de las cuales no hay $2$ paralelas. Supón que hay $3$ puntos donde se cortan exactamente $3$ rectas, $4$ puntos donde se cortan exactamente $4$ rectas, $5$ puntos donde se cortan exactamente $5$ rectas, $6$ puntos donde se cortan exactamente $6$ rectas, y ningún punto donde se corten más de $6$ rectas. Halla el número de puntos donde se cortan exactamente $2$ rectas.

A plane contains $40$ lines, no $2$ of which are parallel. Suppose that there are $3$ points where exactly $3$ lines intersect, $4$ points where exactly $4$ lines intersect, $5$ points where exactly $5$ lines intersect, $6$ points where exactly $6$ lines intersect, and no points where more than $6$ lines intersect. Find the number of points where exactly $2$ lines intersect.

Respuesta

Solución:

Como no hay dos de las $40$ rectas que sean paralelas, cada dos rectas se cortan, lo que da $\binom{40}{2} = 780$ pares de rectas, y cada par se corta en exactamente un punto. Un punto donde se cortan exactamente $k$ rectas corresponde exactamente a $\binom{k}{2}$ de estos pares.

Los puntos dados corresponden a $3\binom{3}{2} + 4\binom{4}{2}$ $+ 5\binom{5}{2} + 6\binom{6}{2}$ $= 9 + 24 + 50 + 90 = 173$ pares de rectas. Cada par restante se corta en un punto donde se cortan exactamente $2$ rectas, un punto por par, así que hay $780 - 173 = 607$ de tales puntos.

Since no two of the $40$ lines are parallel, every two lines cross, giving $\binom{40}{2} = 780$ pairs of lines, and each pair meets at exactly one point. A point where exactly $k$ lines meet accounts for exactly $\binom{k}{2}$ of these pairs.

The given points account for $3\binom{3}{2} + 4\binom{4}{2}$ $+ 5\binom{5}{2} + 6\binom{6}{2}$ $= 9 + 24 + 50 + 90 = 173$ pairs of lines. Each remaining pair meets at a point where exactly $2$ lines intersect, one point per pair, so there are $780 - 173 = 607$ such points.

2023 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años