Question

Kathy tiene $5$ cartas rojas y $5$ cartas verdes. Baraja las $10$ cartas y coloca $5$ de ellas en fila en un orden aleatorio. Estará contenta si y solo si todas las cartas rojas colocadas son adyacentes y todas las cartas verdes colocadas son adyacentes. Por ejemplo, los órdenes de cartas RRGGG, GGGGR o RRRRR harán que Kathy esté contenta, pero RRRGR no. La probabilidad de que Kathy esté contenta es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Kathy has $5$ red cards and $5$ green cards. She shuffles the $10$ cards and lays out $5$ of the cards in a row in a random order. She will be happy if and only if all the red cards laid out are adjacent and all the green cards laid out are adjacent. For example, card orders RRGGG, GGGGR, or RRRRR will make Kathy happy, but RRRGR will not. The probability that Kathy will be happy is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Hay $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$ disposiciones ordenadas igualmente probables de $5$ de las $10$ cartas distintas. Kathy está contenta exactamente cuando el patrón de colores consta de un bloque de rojas y un bloque de verdes: los patrones son RRRRR, GGGGG, y los ocho patrones mixtos $\text{R}^r\text{G}^{5-r}$ y $\text{G}^{5-r}\text{R}^r$ para $r = 1, 2, 3, 4.$

Un patrón que usa $r$ posiciones rojas y $5 - r$ verdes puede llenarse de $\frac{5!}{(5-r)!} \cdot \frac{5!}{r!}$ maneras (elecciones ordenadas de cuáles cartas rojas y cuáles verdes aparecen). Para $r = 5, 4, 3, 2, 1, 0$ estos conteos son $120,$ $600,$ $1200,$ $1200,$ $600,$ $120.$ El número de disposiciones felices es $\begin{aligned} &120 + 120 \\ &{}+ 2\,(600 + 1200 + 1200 + 600) \\ &{}= 7440. \end{aligned}$

La probabilidad es $\frac{7440}{30240} = \frac{31}{126},$ así que $m + n = 31 + 126 = 157.$

There are $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240$ equally likely ordered layouts of $5$ of the $10$ distinct cards. Kathy is happy exactly when the color pattern consists of one block of reds and one block of greens: the patterns are RRRRR, GGGGG, and the eight mixed patterns $\text{R}^r\text{G}^{5-r}$ and $\text{G}^{5-r}\text{R}^r$ for $r = 1, 2, 3, 4.$

A pattern using $r$ red and $5 - r$ green positions can be filled in $\frac{5!}{(5-r)!} \cdot \frac{5!}{r!}$ ways (ordered choices of which red cards and which green cards appear). For $r = 5, 4, 3, 2, 1, 0$ these counts are $120,$ $600,$ $1200,$ $1200,$ $600,$ $120.$ The happy layouts number $\begin{aligned} &120 + 120 \\ &{}+ 2\,(600 + 1200 + 1200 + 600) \\ &{}= 7440. \end{aligned}$

The probability is $\frac{7440}{30240} = \frac{31}{126},$ so $m + n = 31 + 126 = 157.$

2018 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años