Question

Sea $ABCDE$ un pentágono no convexo con ángulos internos $\angle A = \angle E = 90^\circ$ y $\angle B = \angle D = 45^\circ.$ Supongamos que $DE \lt AB,$ $AE = 20,$ $BC = 14\sqrt{2},$ y que los puntos $B,$ $C,$ y $D$ están del mismo lado de la recta $AE.$ Supongamos además que $AB$ es un entero con $AB \lt 2026$ y que el área del pentágono $ABCDE$ es un múltiplo entero de $16.$ Halla el número de valores posibles de $AB.$

Let $ABCDE$ be a nonconvex pentagon with internal angles $\angle A = \angle E = 90^\circ$ and $\angle B = \angle D = 45^\circ.$ Suppose that $DE \lt AB,$ $AE = 20,$ $BC = 14\sqrt{2},$ and points $B,$ $C,$ and $D$ lie on the same side of line $AE.$ Suppose further that $AB$ is an integer with $AB \lt 2026$ and the area of pentagon $ABCDE$ is an integer multiple of $16.$ Find the number of possible values of $AB.$

Respuesta

Solución:

Coloquemos $A = (0, 0)$ y $E = (20, 0)$ con el pentágono por encima de la recta $AE,$ y escribamos $h = AB.$ Los ángulos rectos en $A$ y $E$ hacen que $AB$ y $ED$ sean verticales: $B = (0, h)$ y $D = (20, k)$ con $k = DE.$ En $B$ el lado $BC = 14\sqrt{2}$ forma un ángulo de $45^\circ$ con el rayo descendente $BA,$ dirigiéndose hacia el interior del pentágono, así que $C = (14, h - 14).$ De manera similar en $D,$ el lado $DC$ forma un ángulo de $45^\circ$ con el rayo descendente $DE,$ así que $C = (20 - s, k - s)$ donde $s = \frac{DC}{\sqrt{2}}.$ Igualar coordenadas da $s = 6$ y $k = h - 8.$ El ángulo interior en $C$ es entonces el ángulo reflejo $270^\circ$ (suma de ángulos $90 + 45 + 270 + 45 + 90 = 540$ ), y $DE = h - 8 \lt AB$ automáticamente.

La fórmula del cordón de zapato en $A(0,0),$ $B(0,h),$ $C(14, h-14),$ $D(20, h-8),$ $E(20, 0)$ da un área de $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1}{2}\left|{-14h} + (-6h + 168) + (-20h + 160)\right| \\ &= 20h - 164. \end{aligned}$ La condición $16 \mid 20h - 164$ se reduce a $4h \equiv 4 \pmod{16},$ es decir, $h \equiv 1 \pmod 4.$ Para que $C$ esté estrictamente del mismo lado de la recta $AE$ que $B$ y $D,$ necesitamos $h \gt 14.$

Así que $h$ recorre $17, 21, 25, \ldots, 2025,$ lo que da $\frac{2025 - 17}{4} + 1 = 503$ valores.

Place $A = (0, 0)$ and $E = (20, 0)$ with the pentagon above line $AE,$ and write $h = AB.$ The right angles at $A$ and $E$ make $AB$ and $ED$ vertical: $B = (0, h)$ and $D = (20, k)$ with $k = DE.$ At $B$ the side $BC = 14\sqrt{2}$ makes a $45^\circ$ angle with the downward ray $BA,$ heading into the pentagon, so $C = (14, h - 14).$ Similarly at $D,$ the side $DC$ makes a $45^\circ$ angle with the downward ray $DE,$ so $C = (20 - s, k - s)$ where $s = \frac{DC}{\sqrt{2}}.$ Matching coordinates gives $s = 6$ and $k = h - 8.$ The interior angle at $C$ is then the reflex angle $270^\circ$ (angle sum $90 + 45 + 270 + 45 + 90 = 540$ ), and $DE = h - 8 \lt AB$ automatically.

The shoelace formula on $A(0,0),$ $B(0,h),$ $C(14, h-14),$ $D(20, h-8),$ $E(20, 0)$ gives area $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1}{2}\left|{-14h} + (-6h + 168) + (-20h + 160)\right| \\ &= 20h - 164. \end{aligned}$ The condition $16 \mid 20h - 164$ reduces to $4h \equiv 4 \pmod{16},$ that is, $h \equiv 1 \pmod 4.$ For $C$ to lie strictly on the same side of line $AE$ as $B$ and $D,$ we need $h \gt 14.$

So $h$ runs over $17, 21, 25, \ldots, 2025,$ which is $\frac{2025 - 17}{4} + 1 = 503$ values.

2026 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años