Question

Una serie geométrica infinita tiene suma $2005.$ Una nueva serie, obtenida al elevar al cuadrado cada término de la serie original, tiene suma igual a $10$ veces la suma de la serie original. La razón común de la serie original es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

An infinite geometric series has sum $2005.$ A new series, obtained by squaring each term of the original series, has sum $10$ times the sum of the original series. The common ratio of the original series is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 802

Conceptos:sucesión geométrica diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

La serie de los cuadrados también es geométrica, con primer término $a^2$ y razón $r^2.$

The squared series is also geometric, with first term $a^2$ and ratio $r^2$

Pista grande:

Factoriza $\frac{a^2}{1-r^2} = \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r}$ para obtener $\frac{a}{1+r} = 10,$ y luego compara con $\frac{a}{1-r} = 2005.$

Factor $\frac{a^2}{1-r^2} = \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r}$ to get $\frac{a}{1+r} = 10,$ then compare with $\frac{a}{1-r} = 2005$

Solución:

Sean $a$ y $r$ el primer término y la razón de la serie original, respectivamente, de modo que $\frac{a}{1-r} = 2005.$ La serie de los cuadrados es geométrica con primer término $a^2$ y razón $r^2,$ así que $\begin{aligned} \frac{a^2}{1-r^2} &= \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 2005 \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 10 \cdot 2005, \end{aligned}$ lo cual da $\frac{a}{1+r} = 10.$

Dividiendo las dos ecuaciones, $\frac{1+r}{1-r} = \frac{2005}{10},$ así que $2(1+r) = 401(1-r),$ lo que da $403r = 399$ y $r = \frac{399}{403}.$ Como $399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$ y $403 = 13 \cdot 31,$ la fracción está en su forma más simple, y $m + n = 399 + 403 = 802.$

Let the original series have first term $a$ and ratio $r,$ so $\frac{a}{1-r} = 2005.$ The squared series is geometric with first term $a^2$ and ratio $r^2,$ so $\begin{aligned} \frac{a^2}{1-r^2} &= \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 2005 \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 10 \cdot 2005, \end{aligned}$ which gives $\frac{a}{1+r} = 10.$

Dividing the two equations, $\frac{1+r}{1-r} = \frac{2005}{10},$ so $2(1+r) = 401(1-r),$ giving $403r = 399$ and $r = \frac{399}{403}.$ Since $399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$ and $403 = 13 \cdot 31,$ the fraction is in lowest terms, and $m + n = 399 + 403 = 802.$

2005 AIME II Problema 3

Respuesta: 802

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años