Question

Un hotel empaquetó un desayuno para cada uno de tres huéspedes. Cada desayuno debía consistir en tres tipos de panecillos, uno de nuez, uno de queso y uno de fruta. La encargada envolvió cada uno de los nueve panecillos y, una vez envueltos, los panecillos eran indistinguibles entre sí. Luego colocó al azar tres panecillos en una bolsa para cada uno de los huéspedes. Dado que la probabilidad de que cada huésped reciba un panecillo de cada tipo es $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n$ .

A hotel packed a breakfast for each of three guests. Each breakfast should have consisted of three types of rolls, one each of nut, cheese, and fruit rolls. The preparer wrapped each of the nine rolls, and, once they were wrapped, the rolls were indistinguishable from one another. She then randomly put three rolls in a bag for each of the guests. Given that the probability that each guest got one roll of each type is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Llena la bolsa del primer huésped de a un panecillo por vez. El primer panecillo puede ser cualquiera; el segundo debe evitar los $2$ panecillos restantes del tipo del primero, con probabilidad de éxito $\frac{6}{8}$ ; y el tercero debe ser uno de los $3$ panecillos del tipo faltante entre los $7$ restantes. Así que la primera bolsa tiene uno de cada tipo con probabilidad $\frac{6}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{28}$ .

Dado eso, quedan seis panecillos, dos de cada tipo, y el mismo argumento da $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{5}$ para la segunda bolsa. La tercera bolsa queda entonces automáticamente con uno de cada tipo. La probabilidad es $\frac{9}{28} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{70}$ , así que $m + n = 9 + 70 = 79$ .

Fill the first guest's bag one roll at a time. The first roll can be anything; the second must avoid the $2$ remaining rolls of the first roll's type, succeeding with probability $\frac{6}{8};$ and the third must be one of the $3$ rolls of the missing type among the remaining $7.$ So the first bag has one roll of each type with probability $\frac{6}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{28}.$

Given that, six rolls remain, two of each type, and the same argument gives $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{5}$ for the second bag. The third bag is then automatically one of each type. The probability is $\frac{9}{28} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{70},$ so $m + n = 9 + 70 = 79.$

2005 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años