Question

Un frasco tiene $10$ caramelos rojos y $10$ caramelos azules. Terry toma dos caramelos al azar, y luego Mary toma dos de los caramelos restantes al azar. Dado que la probabilidad de que obtengan la misma combinación de colores, sin importar el orden, es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A jar has $10$ red candies and $10$ blue candies. Terry picks two candies at random, then Mary picks two of the remaining candies at random. Given that the probability that they get the same color combination, irrespective of order, is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Las combinaciones coinciden exactamente cuando ambos sacan dos rojos, ambos sacan dos azules, o ambos sacan un caramelo de cada color. La probabilidad de que Terry saque dos rojos es $\frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38},$ tras lo cual quedan $8$ rojos y $10$ azules, así que Mary saca dos rojos con probabilidad $\frac{\binom{8}{2}}{\binom{18}{2}} = \frac{28}{153}.$ Ese caso tiene probabilidad $\frac{9}{38} \cdot \frac{28}{153} = \frac{14}{323},$ y por simetría dos azules cada uno también es $\frac{14}{323}.$

Para sacadas mixtas, Terry tiene éxito con probabilidad $\frac{10 \cdot 10}{\binom{20}{2}} = \frac{10}{19},$ dejando $9$ de cada color, y Mary con probabilidad $\frac{9 \cdot 9}{\binom{18}{2}} = \frac{9}{17},$ lo que da $\frac{10}{19} \cdot \frac{9}{17} = \frac{90}{323}.$

El total es $\frac{14 + 14 + 90}{323} = \frac{118}{323}.$ Como $118 = 2 \cdot 59$ y $323 = 17 \cdot 19,$ la fracción está en su forma más simple, y $m + n = 118 + 323 = 441.$

The combinations match exactly when both draw two reds, both draw two blues, or both draw one candy of each color. The probability that Terry draws two reds is $\frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38},$ after which $8$ reds and $10$ blues remain, so Mary draws two reds with probability $\frac{\binom{8}{2}}{\binom{18}{2}} = \frac{28}{153}.$ That case has probability $\frac{9}{38} \cdot \frac{28}{153} = \frac{14}{323},$ and by symmetry two blues each is also $\frac{14}{323}.$

For mixed draws, Terry succeeds with probability $\frac{10 \cdot 10}{\binom{20}{2}} = \frac{10}{19},$ leaving $9$ of each color, and Mary with probability $\frac{9 \cdot 9}{\binom{18}{2}} = \frac{9}{17},$ for $\frac{10}{19} \cdot \frac{9}{17} = \frac{90}{323}.$

The total is $\frac{14 + 14 + 90}{323} = \frac{118}{323}.$ Since $118 = 2 \cdot 59$ and $323 = 17 \cdot 19,$ the fraction is in lowest terms, and $m + n = 118 + 323 = 441.$

2004 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años