Question

Un conjunto finito $\mathcal{S}$ de números reales distintos tiene las siguientes propiedades: la media de $\mathcal{S} \cup \{1\}$ es $13$ menos que la media de $\mathcal{S},$ y la media de $\mathcal{S} \cup \{2001\}$ es $27$ más que la media de $\mathcal{S}.$ Halla la media de $\mathcal{S}.$

A finite set $\mathcal{S}$ of distinct real numbers has the following properties: the mean of $\mathcal{S} \cup \{1\}$ is $13$ less than the mean of $\mathcal{S},$ and the mean of $\mathcal{S} \cup \{2001\}$ is $27$ more than the mean of $\mathcal{S}.$ Find the mean of $\mathcal{S}.$

Respuesta

Solución:

Sea $\mathcal{S}$ con $n$ elementos y media $x,$ de modo que los elementos suman $nx.$ Las dos condiciones dicen $\frac{nx + 1}{n + 1} = x - 13$ y $\frac{nx + 2001}{n + 1} = x + 27.$

Eliminando denominadores, $nx + 1 = (n+1)x - 13(n+1)$ da $x - 13(n+1) = 1,$ y $nx + 2001$ $= (n+1)x + 27(n+1)$ da $x + 27(n+1) = 2001.$ Restando la primera ecuación de la segunda se obtiene $40(n+1) = 2000,$ así que $n + 1 = 50.$

Entonces $x = 1 + 13 \cdot 50 = 651.$

Let $\mathcal{S}$ have $n$ elements with mean $x,$ so the elements sum to $nx.$ The two conditions say $\frac{nx + 1}{n + 1} = x - 13$ and $\frac{nx + 2001}{n + 1} = x + 27.$

Clearing denominators, $nx + 1 = (n+1)x - 13(n+1)$ gives $x - 13(n+1) = 1,$ and $nx + 2001$ $= (n+1)x + 27(n+1)$ gives $x + 27(n+1) = 2001.$ Subtracting the first equation from the second yields $40(n+1) = 2000,$ so $n + 1 = 50.$

Then $x = 1 + 13 \cdot 50 = 651.$

2001 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años