Question

Existe un número complejo $z$ con parte imaginaria $164$ y un entero positivo $n$ tales que $\frac{z}{z + n} = 4i.$ Halla $n.$

There is a complex number $z$ with imaginary part $164$ and a positive integer $n$ such that $\frac{z}{z + n} = 4i.$ Find $n.$

Respuesta

Respuesta: 697

Conceptos:número complejo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Escribe $z = a + 164i$ y elimina el denominador: $z = 4i(z + n).$

Write $z = a + 164i$ and clear the denominator: $z = 4i(z + n)$

Pista grande:

Desarrolla $4i(z + n)$ e iguala primero las partes reales y luego las imaginarias para hallar $a$ y después $n.$

Expand $4i(z + n)$ and match real parts, then imaginary parts, to find $a$ and then $n$

Solución:

Escribe $z = a + 164i.$ Al eliminar el denominador se obtiene $z = 4i(z + n),$ es decir, $\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}$

Las partes reales dan $a = -656,$ y las partes imaginarias dan $164 = 4(a + n),$ de modo que $a + n = 41$ y $n = 41 + 656 = 697.$

Write $z = a + 164i.$ Clearing the denominator gives $z = 4i(z + n),$ that is, $\begin{aligned} a + 164i &= 4i\,(a + n + 164i) \\ &= -656 + 4(a + n)i. \end{aligned}$

Real parts give $a = -656,$ and imaginary parts give $164 = 4(a + n),$ so $a + n = 41$ and $n = 41 + 656 = 697.$

2009 AIME I Problema 2

Respuesta: 697

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años