Question

En un plano se dibujan cien circunferencias concéntricas con radios $1, 2, 3, \ldots, 100$ . El interior de la circunferencia de radio $1$ se pinta de rojo, y cada región limitada por circunferencias consecutivas se pinta de rojo o de verde, de modo que dos regiones adyacentes no tengan el mismo color. La razón entre el área total de las regiones verdes y el área de la circunferencia de radio $100$ puede expresarse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

One hundred concentric circles with radii $1, 2, 3, \ldots, 100$ are drawn in a plane. The interior of the circle of radius $1$ is colored red, and each region bounded by consecutive circles is colored either red or green, with no two adjacent regions the same color. The ratio of the total area of the green regions to the area of the circle of radius $100$ can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Las regiones se alternan rojo, verde, rojo, verde, $\ldots$ desde el centro hacia afuera, así que las regiones verdes son los anillos entre los radios $1$ y $2,$ entre $3$ y $4,$ y así hasta el anillo entre $99$ y $100.$ Su área total es $\begin{aligned} &\scriptsize \pi\left[(2^2 - 1^2) + (4^2 - 3^2) + \cdots + (100^2 - 99^2)\right] \\ &\scriptsize = \pi\left[(2 + 1) + (4 + 3) + \cdots + (100 + 99)\right], \end{aligned}$ que es $\pi\,(1 + 2 + \cdots + 100) = 5050\pi.$

La razón buscada es $\frac{5050\pi}{100^2 \pi} = \frac{101}{200},$ así que $m + n = 101 + 200 = 301.$

The regions alternate red, green, red, green, $\ldots$ from the center outward, so the green regions are the annuli between radii $1$ and $2,$ between $3$ and $4,$ and so on up to the annulus between $99$ and $100.$ Their total area is $\begin{aligned} &\scriptsize \pi\left[(2^2 - 1^2) + (4^2 - 3^2) + \cdots + (100^2 - 99^2)\right] \\ &\scriptsize = \pi\left[(2 + 1) + (4 + 3) + \cdots + (100 + 99)\right], \end{aligned}$ which is $\pi\,(1 + 2 + \cdots + 100) = 5050\pi.$

The desired ratio is $\frac{5050\pi}{100^2 \pi} = \frac{101}{200},$ so $m + n = 101 + 200 = 301.$

2003 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años