Question

El conjunto $\mathcal{A}$ consta de $m$ enteros consecutivos cuya suma es $2m,$ y el conjunto $\mathcal{B}$ consta de $2m$ enteros consecutivos cuya suma es $m.$ El valor absoluto de la diferencia entre el mayor elemento de $\mathcal{A}$ y el mayor elemento de $\mathcal{B}$ es $99.$ Halla $m.$

Set $\mathcal{A}$ consists of $m$ consecutive integers whose sum is $2m,$ and set $\mathcal{B}$ consists of $2m$ consecutive integers whose sum is $m.$ The absolute value of the difference between the greatest element of $\mathcal{A}$ and the greatest element of $\mathcal{B}$ is $99.$ Find $m.$

Respuesta

Solución:

Los $m$ enteros de $\mathcal{A}$ tienen media $\frac{2m}{m} = 2,$ así que están centrados en $2;$ como la media de enteros consecutivos es entera solo cuando hay una cantidad impar de ellos, $m$ es impar y el mayor elemento de $\mathcal{A}$ es $2 + \frac{m-1}{2}.$ Los $2m$ enteros de $\mathcal{B}$ tienen media $\frac{1}{2},$ así que son $1 - m, \ldots, 0, 1, \ldots, m,$ con mayor elemento $m.$

La condición es $\begin{aligned} \left| 2 + \frac{m-1}{2} - m \right| &= \left| \frac{3 - m}{2} \right| \\ &= 99, \end{aligned}$ así que $|3 - m| = 198,$ lo que da $m = 201$ (ya que $m \gt 0$ ). En efecto, $201$ es impar, como se requería, así que $m = 201.$

The $m$ integers of $\mathcal{A}$ have mean $\frac{2m}{m} = 2,$ so they are centered at $2;$ since the mean of consecutive integers is an integer only when there are an odd number of them, $m$ is odd and the greatest element of $\mathcal{A}$ is $2 + \frac{m-1}{2}.$ The $2m$ integers of $\mathcal{B}$ have mean $\frac{1}{2},$ so they are $1 - m, \ldots, 0, 1, \ldots, m,$ with greatest element $m.$

The condition is $\begin{aligned} \left| 2 + \frac{m-1}{2} - m \right| &= \left| \frac{3 - m}{2} \right| \\ &= 99, \end{aligned}$ so $|3 - m| = 198,$ giving $m = 201$ (since $m \gt 0$ ). Indeed $201$ is odd, as required, so $m = 201.$

2004 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años