2004 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

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1.

Los dígitos de un entero positivo $n$ son cuatro enteros consecutivos en orden decreciente al leerlos de izquierda a derecha. ¿Cuál es la suma de los posibles residuos cuando $n$ se divide entre $37$ ?

The digits of a positive integer $n$ are four consecutive integers in decreasing order when read from left to right. What is the sum of the possible remainders when $n$ is divided by $37?$

Respuesta

Respuesta: 217

Conceptos:valor posicional aritmética modular

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Si el dígito principal es $a,$ los dígitos son $a,$ $a - 1,$ $a - 2,$ $a - 3$ con $a = 3, 4, \ldots, 9,$ así que $\begin{aligned} n &= 1000a + 100(a-1) \\ &\quad {}+ 10(a-2) + (a-3) \\ &= 1111a - 123. \end{aligned}$

Como $1111 = 30 \cdot 37 + 1$ y $123 = 3 \cdot 37 + 12,$ obtenemos $n \equiv a - 12 \equiv a + 25 \pmod{37}.$ Para $a = 3, \ldots, 9$ los valores $a + 25$ recorren $28, 29, \ldots, 34,$ cada uno ya menor que $37,$ así que estos son exactamente los siete residuos posibles.

Su suma es $28 + 29 + \cdots + 34$ $= 7 \cdot 31 = 217.$

If the leading digit is $a,$ the digits are $a,$ $a - 1,$ $a - 2,$ $a - 3$ with $a = 3, 4, \ldots, 9,$ so $\begin{aligned} n &= 1000a + 100(a-1) \\ &\quad {}+ 10(a-2) + (a-3) \\ &= 1111a - 123. \end{aligned}$

Since $1111 = 30 \cdot 37 + 1$ and $123 = 3 \cdot 37 + 12,$ we get $n \equiv a - 12 \equiv a + 25 \pmod{37}.$ For $a = 3, \ldots, 9$ the values $a + 25$ run through $28, 29, \ldots, 34,$ each already less than $37,$ so these are exactly the seven possible remainders.

Their sum is $28 + 29 + \cdots + 34$ $= 7 \cdot 31 = 217.$

2.

El conjunto $\mathcal{A}$ consta de $m$ enteros consecutivos cuya suma es $2m,$ y el conjunto $\mathcal{B}$ consta de $2m$ enteros consecutivos cuya suma es $m.$ El valor absoluto de la diferencia entre el mayor elemento de $\mathcal{A}$ y el mayor elemento de $\mathcal{B}$ es $99.$ Halla $m.$

Set $\mathcal{A}$ consists of $m$ consecutive integers whose sum is $2m,$ and set $\mathcal{B}$ consists of $2m$ consecutive integers whose sum is $m.$ The absolute value of the difference between the greatest element of $\mathcal{A}$ and the greatest element of $\mathcal{B}$ is $99.$ Find $m.$

Respuesta

Respuesta: 201

Conceptos:sucesión aritmética media valor absoluto

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Los $m$ enteros de $\mathcal{A}$ tienen media $\frac{2m}{m} = 2,$ así que están centrados en $2;$ como la media de enteros consecutivos es entera solo cuando hay una cantidad impar de ellos, $m$ es impar y el mayor elemento de $\mathcal{A}$ es $2 + \frac{m-1}{2}.$ Los $2m$ enteros de $\mathcal{B}$ tienen media $\frac{1}{2},$ así que son $1 - m, \ldots, 0, 1, \ldots, m,$ con mayor elemento $m.$

La condición es $\begin{aligned} \left| 2 + \frac{m-1}{2} - m \right| &= \left| \frac{3 - m}{2} \right| \\ &= 99, \end{aligned}$ así que $|3 - m| = 198,$ lo que da $m = 201$ (ya que $m \gt 0$ ). En efecto, $201$ es impar, como se requería, así que $m = 201.$

The $m$ integers of $\mathcal{A}$ have mean $\frac{2m}{m} = 2,$ so they are centered at $2;$ since the mean of consecutive integers is an integer only when there are an odd number of them, $m$ is odd and the greatest element of $\mathcal{A}$ is $2 + \frac{m-1}{2}.$ The $2m$ integers of $\mathcal{B}$ have mean $\frac{1}{2},$ so they are $1 - m, \ldots, 0, 1, \ldots, m,$ with greatest element $m.$

The condition is $\begin{aligned} \left| 2 + \frac{m-1}{2} - m \right| &= \left| \frac{3 - m}{2} \right| \\ &= 99, \end{aligned}$ so $|3 - m| = 198,$ giving $m = 201$ (since $m \gt 0$ ). Indeed $201$ is odd, as required, so $m = 201.$

3.

Un poliedro convexo $P$ tiene $26$ vértices, $60$ aristas y $36$ caras, de las cuales $24$ son triangulares y $12$ son cuadriláteros. Una diagonal espacial es un segmento que une dos vértices no adyacentes que no pertenecen a la misma cara. ¿Cuántas diagonales espaciales tiene $P$ ?

A convex polyhedron $P$ has $26$ vertices, $60$ edges, and $36$ faces, $24$ of which are triangular, and $12$ of which are quadrilaterals. A space diagonal is a line segment connecting two non-adjacent vertices that do not belong to the same face. How many space diagonals does $P$ have?

Respuesta

Respuesta: 241

Conceptos:poliedro diagonal conteo complementario

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Cada par de vértices determina exactamente una de tres cosas: una arista, una diagonal de una cara o una diagonal espacial. Hay $\binom{26}{2} = 325$ pares de vértices en total.

De estos, $60$ son aristas. Las $24$ caras triangulares no tienen diagonales, mientras que cada una de las $12$ caras cuadriláteras tiene $2,$ lo que da $24$ diagonales de cara (ningún par de caras comparte una diagonal, pues el poliedro es convexo).

El número de diagonales espaciales es $325 - 60 - 24 = 241.$

Every pair of vertices determines exactly one of three things: an edge, a diagonal of a face, or a space diagonal. There are $\binom{26}{2} = 325$ pairs of vertices in all.

Of these, $60$ are edges. The $24$ triangular faces have no diagonals, while each of the $12$ quadrilateral faces has $2,$ for $24$ face diagonals (no two faces share a diagonal, since the polyhedron is convex).

The number of space diagonals is $325 - 60 - 24 = 241.$

4.

Un cuadrado tiene lados de longitud $2.$ El conjunto $\mathcal{S}$ es el conjunto de todos los segmentos de longitud $2$ cuyos extremos están en lados adyacentes del cuadrado. Los puntos medios de los segmentos del conjunto $\mathcal{S}$ encierran una región cuya área, redondeada a la centésima, es $k.$ Halla $100k.$

A square has sides of length $2.$ Set $\mathcal{S}$ is the set of all line segments that have length $2$ and whose endpoints are on adjacent sides of the square. The midpoints of the line segments in set $\mathcal{S}$ enclose a region whose area to the nearest hundredth is $k.$ Find $100k.$

Respuesta

Respuesta: 86

Conceptos:mediana (geometría)triángulo rectángulo área del círculo

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Sea un segmento $\overline{PQ}$ de $\mathcal{S}$ con extremos en dos lados que se encuentran en el vértice $A,$ y sea $M$ su punto medio. El triángulo $PAQ$ es rectángulo en $A$ con hipotenusa $PQ = 2,$ y la mediana a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, así que $AM = 1.$ Recíprocamente, todo punto a distancia $1$ de un vértice (entre los dos lados adyacentes) es uno de esos puntos medios, así que los puntos medios forman cuatro arcos de un cuarto de circunferencia de radio $1$ centrados en los vértices del cuadrado.

La región que encierran estos arcos es el cuadrado menos los cuatro cuartos de disco, de área $4 - 4 \cdot \frac{\pi}{4} = 4 - \pi \approx 0.86.$ Por lo tanto $100k = 86.$

Let a segment $\overline{PQ}$ in $\mathcal{S}$ have endpoints on two sides meeting at corner $A,$ and let $M$ be its midpoint. Triangle $PAQ$ is right-angled at $A$ with hypotenuse $PQ = 2,$ and the median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, so $AM = 1.$ Conversely every point at distance $1$ from a corner (between the two adjacent sides) is such a midpoint, so the midpoints form four quarter-circle arcs of radius $1$ centered at the corners of the square.

The region these arcs enclose is the square with the four quarter-disks removed, of area $4 - 4 \cdot \frac{\pi}{4} = 4 - \pi \approx 0.86.$ Therefore $100k = 86.$

5.

Alpha y Beta participaron en una competencia de resolución de problemas de dos días. Al final del segundo día, cada uno había intentado preguntas por un total de $500$ puntos. Alpha obtuvo $160$ puntos de los $300$ que intentó el primer día, y obtuvo $140$ puntos de los $200$ que intentó el segundo día. Beta, que no intentó $300$ puntos el primer día, obtuvo una puntuación entera positiva cada uno de los dos días, y la razón de éxito diaria de Beta (puntos obtenidos dividido entre puntos intentados) cada día fue menor que la de Alpha ese día. La razón de éxito de Alpha en los dos días fue $300/500 = 3/5.$ La mayor razón de éxito en dos días que Beta pudo haber logrado es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Alpha and Beta both took part in a two-day problem-solving competition. At the end of the second day, each had attempted questions worth a total of $500$ points. Alpha scored $160$ points out of $300$ points attempted on the first day, and scored $140$ points out of $200$ points attempted on the second day. Beta, who did not attempt $300$ points on the first day, had a positive integer score on each of the two days, and Beta's daily success ratio (points scored divided by points attempted) on each day was less than Alpha's on that day. Alpha's two-day success ratio was $300/500 = 3/5.$ The largest possible two-day success ratio that Beta could have achieved is $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

Respuesta

Respuesta: 849

Conceptos:razón y proporción desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2480

Solución:

Las razones diarias de Alpha fueron $\frac{160}{300} = \frac{8}{15}$ y $\frac{140}{200} = \frac{7}{10}.$ Como $\frac{8}{15} \lt \frac{7}{10},$ la puntuación de Beta fue menor que $\frac{7}{10}$ de los puntos intentados cada día, así que la puntuación total de Beta fue menor que $\frac{7}{10} \cdot 500 = 350,$ por lo tanto a lo sumo $349.$

Un total de $349$ es alcanzable: Beta puede obtener $1$ de $2$ puntos intentados el primer día (y $\frac{1}{2} \lt \frac{8}{15}$ ) y $348$ de $498$ el segundo día (y $\frac{348}{498} \lt \frac{7}{10}$ porque $3480 \lt 3486$ ).

Así que la mayor razón posible de Beta en dos días es $\frac{349}{500},$ que está en su mínima expresión ya que $349$ es primo, y $m + n = 349 + 500 = 849.$

Alpha's daily ratios were $\frac{160}{300} = \frac{8}{15}$ and $\frac{140}{200} = \frac{7}{10}.$ Since $\frac{8}{15} \lt \frac{7}{10},$ Beta's score was less than $\frac{7}{10}$ of the points attempted on each day, so Beta's total score was less than $\frac{7}{10} \cdot 500 = 350,$ hence at most $349.$

A total of $349$ is achievable: Beta can score $1$ out of $2$ points attempted on day one (and $\frac{1}{2} \lt \frac{8}{15}$ ) and $348$ out of $498$ on day two (and $\frac{348}{498} \lt \frac{7}{10}$ because $3480 \lt 3486$ ).

So Beta's largest possible two-day ratio is $\frac{349}{500},$ which is in lowest terms since $349$ is prime, and $m + n = 349 + 500 = 849.$

6.

Un entero se llama serpenteante si su representación decimal $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ satisface $a_i \lt a_{i+1}$ cuando $i$ es impar y $a_i \gt a_{i+1}$ cuando $i$ es par. ¿Cuántos enteros serpenteantes entre $1000$ y $9999$ tienen cuatro dígitos distintos?

An integer is called snakelike if its decimal representation $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ satisfies $a_i \lt a_{i+1}$ if $i$ is odd and $a_i \gt a_{i+1}$ if $i$ is even. How many snakelike integers between $1000$ and $9999$ have four distinct digits?

Respuesta

Respuesta: 882

Conceptos:arreglos con restricciones dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Un número serpenteante de cuatro dígitos satisface $a_1 \lt a_2 \gt a_3 \lt a_4.$ Primero contemos los ordenamientos de cuatro dígitos distintos cualesquiera $w \lt x \lt y \lt z$ en este patrón. El mayor dígito $z$ debe ocupar la posición $2$ o la $4.$ Si $z$ está en la posición $4,$ los otros tres forman $a_1 \lt a_2 \gt a_3,$ así que el mayor de ellos ocupa la posición $2$ y los dos restantes pueden ir en cualquier orden: $2$ maneras. Si $z$ está en la posición $2,$ cualquiera de los otros tres dígitos puede ser $a_1,$ y entonces $a_3 \lt a_4$ fija el resto: $3$ maneras. Así que cada conjunto de cuatro dígitos admite exactamente $5$ ordenamientos serpenteantes.

Si $0$ no está entre los dígitos, los $5$ ordenamientos dan números válidos: $\binom{9}{4} \cdot 5 = 630.$ Si $0$ está entre ellos, nota que $0$ debe ocupar la posición $1$ o la $3$ (las posiciones $2$ y $4$ deben superar a un vecino), y la posición $1$ está prohibida. Con $0$ en la posición $3,$ cualquiera de los otros tres dígitos puede ser $a_4,$ y $a_1 \lt a_2$ fija el resto, así que $3$ de los $5$ ordenamientos sobreviven: $\binom{9}{3} \cdot 3 = 252.$

El total es $630 + 252 = 882.$

A four-digit snakelike number satisfies $a_1 \lt a_2 \gt a_3 \lt a_4.$ First count the arrangements of any four distinct digits $w \lt x \lt y \lt z$ into this pattern. The largest digit $z$ must sit in position $2$ or $4.$ If $z$ is in position $4,$ the other three form $a_1 \lt a_2 \gt a_3,$ so the largest of them takes position $2$ and the remaining two can go in either order: $2$ ways. If $z$ is in position $2,$ any of the other three digits can be $a_1,$ and then $a_3 \lt a_4$ fixes the rest: $3$ ways. So each set of four digits admits exactly $5$ snakelike orders.

If $0$ is not among the digits, all $5$ orders give valid numbers: $\binom{9}{4} \cdot 5 = 630.$ If $0$ is among them, note $0$ must occupy position $1$ or $3$ (positions $2$ and $4$ must exceed a neighbor), and position $1$ is forbidden. With $0$ in position $3,$ any of the other three digits can be $a_4,$ and $a_1 \lt a_2$ fixes the rest, so $3$ of the $5$ orders survive: $\binom{9}{3} \cdot 3 = 252.$

The total is $630 + 252 = 882.$

7.

Sea $C$ el coeficiente de $x^2$ en el desarrollo del producto $\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}$ Halla $|C|.$

Let $C$ be the coefficient of $x^2$ in the expansion of the product $\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}$ Find $|C|.$

Respuesta

Respuesta: 588

Conceptos:polinomio manipulación algebraica suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Escribe el producto como $\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)$ con $a_k = (-1)^k k.$ Un término $x^2$ surge al elegir el término en $x$ de dos factores, así que $C = \sum_{i \lt j} a_i a_j,$ y $C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}.$

La suma alternante es $\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240. \end{aligned}$

Por lo tanto $C = \frac{64 - 1240}{2} = -588,$ así que $|C| = 588.$

Write the product as $\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)$ with $a_k = (-1)^k k.$ An $x^2$ term arises by choosing the $x$ -term from two factors, so $C = \sum_{i \lt j} a_i a_j,$ and $C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}.$

The alternating sum is $\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240. \end{aligned}$

Thus $C = \frac{64 - 1240}{2} = -588,$ so $|C| = 588.$

8.

Define una estrella regular de $n$ puntas como la unión de $n$ segmentos $\overline{P_1 P_2}, \overline{P_2 P_3}, \ldots, \overline{P_n P_1}$ tal que:

• los puntos $P_1, P_2, \ldots, P_n$ son coplanares y no hay tres de ellos colineales;

• cada uno de los $n$ segmentos corta al menos a otro de los segmentos en un punto que no es extremo;

• todos los ángulos en $P_1, P_2, \ldots, P_n$ son congruentes;

• todos los $n$ segmentos $\overline{P_1 P_2}, \overline{P_2 P_3}, \ldots, \overline{P_n P_1}$ son congruentes; y

• la trayectoria $P_1 P_2 \ldots P_n P_1$ gira en sentido antihorario con un ángulo menor que $180^\circ$ en cada vértice.

No existen estrellas regulares de $3$ puntas, $4$ puntas ni $6$ puntas. Todas las estrellas regulares de $5$ puntas son semejantes, pero hay dos estrellas regulares de $7$ puntas no semejantes. ¿Cuántas estrellas regulares de $1000$ puntas no semejantes hay?

Define a regular $n$ -pointed star to be the union of $n$ line segments $\overline{P_1 P_2}, \overline{P_2 P_3}, \ldots, \overline{P_n P_1}$ such that

• the points $P_1, P_2, \ldots, P_n$ are coplanar and no three of them are collinear,

• each of the $n$ line segments intersects at least one of the other line segments at a point other than an endpoint,

• all of the angles at $P_1, P_2, \ldots, P_n$ are congruent,

• all of the $n$ line segments $\overline{P_1 P_2}, \overline{P_2 P_3}, \ldots, \overline{P_n P_1}$ are congruent, and

• the path $P_1 P_2 \ldots P_n P_1$ turns counterclockwise at an angle of less than $180^\circ$ at each vertex.

There are no regular $3$ -pointed, $4$ -pointed, or $6$ -pointed stars. All regular $5$ -pointed stars are similar, but there are two non-similar regular $7$ -pointed stars. How many non-similar regular $1000$ -pointed stars are there?

Respuesta

Respuesta: 199

Conceptos:Función φ de Euler polígono regular emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Los ángulos congruentes y los segmentos congruentes obligan a que los vértices de una estrella regular estén igualmente espaciados en una circunferencia, recorridos dando un paso constante: numera $n$ puntos igualmente espaciados $0, 1, \ldots, n - 1$ y conecta cada $d$ -ésimo punto. La trayectoria visita los $n$ puntos exactamente cuando $\gcd(d, n) = 1,$ y los segmentos realmente se cruzan (formando una estrella y no un polígono convexo) exactamente cuando $2 \le d \le n - 2.$ Los pasos $d$ y $n - d$ trazan la misma figura en direcciones opuestas, mientras que valores distintos en otro caso dan estrellas no semejantes, ya que una homotecia que hiciera coincidir las circunferencias tendría que hacer coincidir los ángulos de giro.

Para $n = 1000 = 2^3 \cdot 5^3,$ la cantidad de $d$ con $\gcd(d, 1000) = 1$ es $1000\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 400.$ Al quitar $d = 1$ y $d = 999$ quedan $398$ valores, que se emparejan como $\{d, 1000 - d\},$ así que la cantidad de estrellas regulares de $1000$ puntas no semejantes es $\frac{398}{2} = 199.$

The congruent angles and congruent segments force the vertices of a regular star to be equally spaced on a circle, visited by taking a constant step: number $n$ equally spaced points $0, 1, \ldots, n - 1$ and connect every $d$ th point. The path visits all $n$ points exactly when $\gcd(d, n) = 1,$ and the segments actually cross (making a star rather than a convex polygon) exactly when $2 \le d \le n - 2.$ Steps $d$ and $n - d$ trace the same figure in opposite directions, while different values otherwise give non-similar stars, since a dilation matching the circles would have to match the turning angles.

For $n = 1000 = 2^3 \cdot 5^3,$ the number of $d$ with $\gcd(d, 1000) = 1$ is $1000\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 400.$ Removing $d = 1$ and $d = 999$ leaves $398$ values, which pair up as $\{d, 1000 - d\},$ so the number of non-similar regular $1000$ -pointed stars is $\frac{398}{2} = 199.$

9.

Sea $ABC$ un triángulo con lados $3,$ $4,$ y $5,$ y sea $DEFG$ un rectángulo de $6$ por $7$ . Se traza un segmento que divide el triángulo $ABC$ en un triángulo $U_1$ y un trapecio $V_1,$ y se traza otro segmento que divide el rectángulo $DEFG$ en un triángulo $U_2$ y un trapecio $V_2$ de modo que $U_1$ es semejante a $U_2$ y $V_1$ es semejante a $V_2.$ El valor mínimo del área de $U_1$ puede escribirse en la forma $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $ABC$ be a triangle with sides $3,$ $4,$ and $5,$ and $DEFG$ be a $6$ -by- $7$ rectangle. A segment is drawn to divide triangle $ABC$ into a triangle $U_1$ and a trapezoid $V_1,$ and another segment is drawn to divide rectangle $DEFG$ into a triangle $U_2$ and a trapezoid $V_2$ such that $U_1$ is similar to $U_2$ and $V_1$ is similar to $V_2.$ The minimum value of the area of $U_1$ can be written in the form $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 35

Conceptos:semejanza razón de áreas análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Un segmento corta el rectángulo en un triángulo y un trapecio solo si va de un vértice a un punto de un lado no adyacente, así que $U_2$ es un triángulo rectángulo cuyos catetos están sobre dos lados del rectángulo, siendo un cateto un lado completo ( $6$ o $7$ ). Como $U_1 \sim U_2,$ el corte en el triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ $ABC$ también debe producir un triángulo rectángulo, así que es paralelo a un cateto, y entonces $U_1 \sim ABC.$ Por lo tanto $U_2$ también es un triángulo $3$ - $4$ - $5$ : sus catetos son $6$ y $\frac{9}{2}$ (lado completo $6$ ) o $7$ y $\frac{21}{4}$ (lado completo $7$ ); las otras orientaciones necesitan catetos $8$ o $\frac{28}{3},$ que no caben.

En ambos casos el trapecio $V_2$ tiene dos ángulos rectos y un ángulo agudo entre el corte y su base más larga con tangente $\frac{6}{9/2} = \frac{7}{21/4} = \frac{4}{3}.$ En el triángulo $ABC,$ un corte paralelo al cateto de longitud $3$ le da a $V_1$ un ángulo agudo con tangente $\frac{4}{3},$ que coincide, mientras que un corte paralelo al cateto de longitud $4$ da tangente $\frac{3}{4},$ que no puede coincidir. Así que el corte es paralelo al lado de longitud $3,$ y las bases paralelas de $V_1$ son el segmento cortado $s$ y el lado de longitud $3.$

La semejanza de los trapecios obliga a que $s : 3$ sea igual a la razón de las bases de $V_2,$ que es $\frac{7 - 9/2}{7} = \frac{5}{14}$ en el primer caso y $\frac{6 - 21/4}{6} = \frac{1}{8}$ en el segundo. Entonces $[U_1] = \left(\frac{s}{3}\right)^2 [ABC],$ lo que da $\left(\frac{5}{14}\right)^2 \cdot 6 = \frac{75}{98}$ o $\left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot 6 = \frac{3}{32}.$ El mínimo es $\frac{3}{32},$ así que $m + n = 3 + 32 = 35.$

A segment cuts the rectangle into a triangle and a trapezoid only if it runs from a vertex to a point on a nonadjacent side, so $U_2$ is a right triangle whose legs lie along two sides of the rectangle, one leg being a full side ( $6$ or $7$ ). Since $U_1 \sim U_2,$ the cut in the $3$ - $4$ - $5$ right triangle $ABC$ must also produce a right triangle, so it is parallel to a leg, and then $U_1 \sim ABC.$ Hence $U_2$ is a $3$ - $4$ - $5$ triangle too: its legs are $6$ and $\frac{9}{2}$ (full side $6$ ) or $7$ and $\frac{21}{4}$ (full side $7$ ); the other orientations need legs $8$ or $\frac{28}{3},$ which do not fit.

In both cases the trapezoid $V_2$ has two right angles and an acute angle between the cut and its longer base with tangent $\frac{6}{9/2} = \frac{7}{21/4} = \frac{4}{3}.$ In triangle $ABC,$ a cut parallel to the leg of length $3$ gives $V_1$ an acute angle with tangent $\frac{4}{3},$ matching, while a cut parallel to the leg of length $4$ gives tangent $\frac{3}{4},$ which cannot match. So the cut is parallel to the side of length $3,$ and the parallel bases of $V_1$ are the cut segment $s$ and the side of length $3.$

Similarity of the trapezoids forces $s : 3$ to equal the ratio of the bases of $V_2,$ which is $\frac{7 - 9/2}{7} = \frac{5}{14}$ in the first case and $\frac{6 - 21/4}{6} = \frac{1}{8}$ in the second. Then $[U_1] = \left(\frac{s}{3}\right)^2 [ABC],$ giving $\left(\frac{5}{14}\right)^2 \cdot 6 = \frac{75}{98}$ or $\left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot 6 = \frac{3}{32}.$ The minimum is $\frac{3}{32},$ so $m + n = 3 + 32 = 35.$

10.

Un círculo de radio $1$ se coloca al azar en un rectángulo $ABCD$ de $15$ por $36$ de modo que el círculo queda completamente dentro del rectángulo. Dado que la probabilidad de que el círculo no toque la diagonal $\overline{AC}$ es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A circle of radius $1$ is randomly placed in a $15$ -by- $36$ rectangle $ABCD$ so that the circle lies completely within the rectangle. Given that the probability that the circle will not touch diagonal $\overline{AC}$ is $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 817

Conceptos:probabilidad geométrica geometría analítica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2790

Solución:

Coloca $A = (0, 0),$ $B = (36, 0),$ $C = (36, 15).$ Para que el círculo quede dentro del rectángulo, su centro debe estar en el rectángulo $[1, 35] \times [1, 14],$ de área $34 \cdot 13 = 442,$ y el centro se distribuye uniformemente allí. La diagonal $\overline{AC}$ está sobre la recta $5x - 12y = 0,$ y el círculo la evita exactamente cuando la distancia del centro $\frac{|5x - 12y|}{13}$ supera $1,$ es decir, $|5x - 12y| \gt 13.$

La recta $5x - 12y = 13$ corta a $y = 1$ en $x = 5$ y a $x = 35$ en $y = \frac{27}{2},$ así que debajo de la diagonal la región favorable es el triángulo rectángulo con vértices $(5, 1),$ $(35, 1),$ $(35, \tfrac{27}{2}),$ con catetos $30$ y $\frac{25}{2}$ y área $\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{25}{2} = \frac{375}{2}.$ Al girar $180^\circ$ alrededor del centro del rectángulo $(18, \tfrac{15}{2}),$ que está sobre la diagonal, el rectángulo interior y la diagonal se aplican en sí mismos, así que la región por encima de la diagonal tiene la misma área.

La probabilidad es $\frac{375}{442},$ y como $442 = 2 \cdot 13 \cdot 17$ no comparte ningún factor con $375 = 3 \cdot 5^3,$ obtenemos $m + n = 375 + 442 = 817.$

Place $A = (0, 0),$ $B = (36, 0),$ $C = (36, 15).$ For the circle to lie in the rectangle, its center must lie in the rectangle $[1, 35] \times [1, 14],$ of area $34 \cdot 13 = 442,$ and the center is uniformly distributed there. The diagonal $\overline{AC}$ lies on the line $5x - 12y = 0,$ and the circle misses it exactly when the center's distance $\frac{|5x - 12y|}{13}$ exceeds $1,$ that is, $|5x - 12y| \gt 13.$

The line $5x - 12y = 13$ meets $y = 1$ at $x = 5$ and $x = 35$ at $y = \frac{27}{2},$ so below the diagonal the favorable region is the right triangle with vertices $(5, 1),$ $(35, 1),$ $(35, \tfrac{27}{2}),$ with legs $30$ and $\frac{25}{2}$ and area $\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{25}{2} = \frac{375}{2}.$ Rotating $180^\circ$ about the rectangle's center $(18, \tfrac{15}{2}),$ which lies on the diagonal, maps the inner rectangle and the diagonal to themselves, so the region above the diagonal has the same area.

The probability is $\frac{375}{442},$ and since $442 = 2 \cdot 13 \cdot 17$ shares no factor with $375 = 3 \cdot 5^3,$ we get $m + n = 375 + 442 = 817.$

11.

Un sólido con forma de cono circular recto mide $4$ pulgadas de altura y su base tiene un radio de $3$ pulgadas. Toda la superficie del cono, incluida su base, está pintada. Un plano paralelo a la base del cono divide el cono en dos sólidos, un sólido cónico más pequeño $\mathcal{C}$ y un sólido con forma de tronco $\mathcal{F},$ de modo que la razón entre las áreas de las superficies pintadas de $\mathcal{C}$ y $\mathcal{F}$ y la razón entre los volúmenes de $\mathcal{C}$ y $\mathcal{F}$ son ambas iguales a $k.$ Dado que $k = m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A solid in the shape of a right circular cone is $4$ inches tall and its base has a $3$ -inch radius. The entire surface of the cone, including its base, is painted. A plane parallel to the base of the cone divides the cone into two solids, a smaller cone-shaped solid $\mathcal{C}$ and a frustum-shaped solid $\mathcal{F},$ in such a way that the ratio between the areas of the painted surfaces of $\mathcal{C}$ and $\mathcal{F}$ and the ratio between the volumes of $\mathcal{C}$ and $\mathcal{F}$ are both equal to $k.$ Given that $k = m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 512

Conceptos:cono área de superficie escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

El cono tiene radio $3,$ altura $4,$ y generatriz $5,$ así que su superficie pintada consta del área lateral $\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ y el área de la base $9\pi,$ que suman $24\pi.$ Supón que el corte está a la razón de semejanza $t,$ de modo que $\mathcal{C}$ es un cono de radio $3t$ y generatriz $5t.$ Entonces la superficie pintada de $\mathcal{C}$ es solo su área lateral $15\pi t^2,$ y la superficie pintada de $\mathcal{F}$ es el resto, $24\pi - 15\pi t^2.$ Los volúmenes están en razón $t^3$ a $1 - t^3.$

Al igualar las dos razones, $\frac{15 t^2}{24 - 15 t^2} = \frac{t^3}{1 - t^3},$ así que $15 t^2 (1 - t^3) = t^3 (24 - 15 t^2),$ lo que se simplifica a $15 t^2 = 24 t^3,$ dando $t = \frac{5}{8}.$

Entonces $k = \frac{t^3}{1 - t^3} = \frac{125/512}{387/512} = \frac{125}{387},$ que está en su mínima expresión ya que $387 = 3^2 \cdot 43,$ así que $m + n = 125 + 387 = 512.$

The cone has radius $3,$ height $4,$ and slant height $5,$ so its painted surface consists of lateral area $\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ and base area $9\pi,$ totaling $24\pi.$ Suppose the cut is at similarity ratio $t,$ so $\mathcal{C}$ is a cone with radius $3t$ and slant height $5t.$ Then $\mathcal{C}$ 's painted surface is only its lateral area $15\pi t^2,$ and $\mathcal{F}$ 's painted surface is the rest, $24\pi - 15\pi t^2.$ The volumes are in ratio $t^3$ to $1 - t^3.$

Setting the two ratios equal, $\frac{15 t^2}{24 - 15 t^2} = \frac{t^3}{1 - t^3},$ so $15 t^2 (1 - t^3) = t^3 (24 - 15 t^2),$ which simplifies to $15 t^2 = 24 t^3,$ giving $t = \frac{5}{8}.$

Then $k = \frac{t^3}{1 - t^3} = \frac{125/512}{387/512} = \frac{125}{387},$ which is in lowest terms since $387 = 3^2 \cdot 43,$ so $m + n = 125 + 387 = 512.$

12.

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de pares ordenados $(x, y)$ tales que $0 \lt x \le 1,$ $0 \lt y \le 1,$ y $\left\lfloor \log_2\left(\frac{1}{x}\right) \right\rfloor$ y $\left\lfloor \log_5\left(\frac{1}{y}\right) \right\rfloor$ son ambos pares. Dado que el área de la gráfica de $\mathcal{S}$ es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$ La notación $\lfloor z \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z.$

Let $\mathcal{S}$ be the set of ordered pairs $(x, y)$ such that $0 \lt x \le 1,$ $0 \lt y \le 1,$ and $\left\lfloor \log_2\left(\frac{1}{x}\right) \right\rfloor$ and $\left\lfloor \log_5\left(\frac{1}{y}\right) \right\rfloor$ are both even. Given that the area of the graph of $\mathcal{S}$ is $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$ The notation $\lfloor z \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $z.$

Respuesta

Respuesta: 14

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Para $0 \lt x \le 1,$ la condición $\lfloor \log_2(1/x) \rfloor = 2k$ (para un entero $k \ge 0$ ) significa $2k \le \log_2(1/x) \lt 2k + 1,$ es decir, $x \in \left(2^{-2k-1}, 2^{-2k}\right].$ Estos intervalos tienen longitud total $\sum_{k \ge 0} 2^{-2k-1} = \frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{2}{3}.$ De manera similar, $\lfloor \log_5(1/y) \rfloor$ es par para $y \in \left(5^{-2k-1}, 5^{-2k}\right],$ intervalos de longitud total $\sum_{k \ge 0} \frac{4}{5} \cdot 25^{-k} = \frac{4/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{6}.$

La gráfica de $\mathcal{S}$ es el producto de estos dos conjuntos, así que su área es $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{9},$ y $m + n = 5 + 9 = 14.$

For $0 \lt x \le 1,$ the condition $\lfloor \log_2(1/x) \rfloor = 2k$ (for an integer $k \ge 0$ ) means $2k \le \log_2(1/x) \lt 2k + 1,$ i.e. $x \in \left(2^{-2k-1}, 2^{-2k}\right].$ These intervals have total length $\sum_{k \ge 0} 2^{-2k-1} = \frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{2}{3}.$ Similarly, $\lfloor \log_5(1/y) \rfloor$ is even for $y \in \left(5^{-2k-1}, 5^{-2k}\right],$ intervals of total length $\sum_{k \ge 0} \frac{4}{5} \cdot 25^{-k} = \frac{4/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{6}.$

The graph of $\mathcal{S}$ is the product of these two sets, so its area is $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{9},$ and $m + n = 5 + 9 = 14.$

13.

El polinomio $\begin{aligned} P(x) &= \small (1 + x + x^2 + \cdots + x^{17})^2 \\ &\quad {}- x^{17} \end{aligned}$ tiene $34$ ceros complejos de la forma $z_k$ $= r_k[\cos(2\pi\alpha_k) + i\sin(2\pi\alpha_k)],$ $k = 1, 2, 3, \ldots, 34,$ con $0 \lt \alpha_1 \le \alpha_2 \le \alpha_3$ $\le \cdots \le \alpha_{34} \lt 1$ y $r_k \gt 0.$ Dado que $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 = m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

The polynomial $\begin{aligned} P(x) &= \small (1 + x + x^2 + \cdots + x^{17})^2 \\ &\quad {}- x^{17} \end{aligned}$ has $34$ complex zeros of the form $z_k$ $= r_k[\cos(2\pi\alpha_k) + i\sin(2\pi\alpha_k)],$ $k = 1, 2, 3, \ldots, 34,$ with $0 \lt \alpha_1 \le \alpha_2 \le \alpha_3$ $\le \cdots \le \alpha_{34} \lt 1$ and $r_k \gt 0.$ Given that $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 = m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 482

Conceptos:raíces de la unidad sucesión geométrica factorización

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Para $x \ne 1,$ escribe $1 + x + \cdots + x^{17} = \frac{x^{18} - 1}{x - 1},$ así que $\begin{aligned} \scriptsize (x - 1)^2 P(x) &= (x^{18} - 1)^2 \\ &\quad {}- x^{17}(x - 1)^2 \\ &= x^{36} - x^{19} - x^{17} + 1 \\ &= (x^{19} - 1)(x^{17} - 1). \end{aligned}$ Por lo tanto los ceros de $P$ son los $34$ números complejos distintos de $1$ que satisfacen $x^{17} = 1$ o $x^{19} = 1;$ todos están en la circunferencia unidad, con ángulos $\alpha = \frac{k}{17}$ $(k = 1, \ldots, 16)$ y $\alpha = \frac{k}{19}$ $(k = 1, \ldots, 18).$

Los cinco menores de estos ángulos son $\frac{1}{19} \lt \frac{1}{17} \lt \frac{2}{19} \lt \frac{2}{17} \lt \frac{3}{19},$ cuya suma es $\frac{6}{19} + \frac{3}{17} = \frac{102 + 57}{323} = \frac{159}{323}.$ Como $159 = 3 \cdot 53$ y $323 = 17 \cdot 19,$ esto está en su mínima expresión, y $m + n = 159 + 323 = 482.$

For $x \ne 1,$ write $1 + x + \cdots + x^{17} = \frac{x^{18} - 1}{x - 1},$ so $\begin{aligned} \scriptsize (x - 1)^2 P(x) &= (x^{18} - 1)^2 \\ &\quad {}- x^{17}(x - 1)^2 \\ &= x^{36} - x^{19} - x^{17} + 1 \\ &= (x^{19} - 1)(x^{17} - 1). \end{aligned}$ Hence the zeros of $P$ are the $34$ complex numbers other than $1$ satisfying $x^{17} = 1$ or $x^{19} = 1;$ all lie on the unit circle, with angles $\alpha = \frac{k}{17}$ $(k = 1, \ldots, 16)$ and $\alpha = \frac{k}{19}$ $(k = 1, \ldots, 18).$

The five smallest of these angles are $\frac{1}{19} \lt \frac{1}{17} \lt \frac{2}{19} \lt \frac{2}{17} \lt \frac{3}{19},$ whose sum is $\frac{6}{19} + \frac{3}{17} = \frac{102 + 57}{323} = \frac{159}{323}.$ Since $159 = 3 \cdot 53$ and $323 = 17 \cdot 19,$ this is in lowest terms, and $m + n = 159 + 323 = 482.$

14.

Un unicornio está atado con una cuerda plateada de $20$ pies a la base de la torre cilíndrica de un mago cuyo radio es $8$ pies. La cuerda está sujeta a la torre a nivel del suelo y al unicornio a una altura de $4$ pies. El unicornio ha tensado la cuerda, el extremo de la cuerda está a $4$ pies del punto más cercano de la torre, y la longitud de la cuerda que toca la torre es $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$ pies, donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ es primo. Halla $a + b + c.$

A unicorn is tethered by a $20$ -foot silver rope to the base of a magician's cylindrical tower whose radius is $8$ feet. The rope is attached to the tower at ground level and to the unicorn at a height of $4$ feet. The unicorn has pulled the rope taut, the end of the rope is $4$ feet from the nearest point on the tower, and the length of the rope that is touching the tower is $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$ feet, where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Respuesta: 813

Conceptos:cilindro desarrollo plano (geometría 3D)recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

La cuerda va desde su anclaje $A$ en la base de la torre, se pega a la pared hasta un punto $P$ , luego va recta hasta su extremo $Q$ , que está a altura $4$ y a distancia $8 + 4 = 12$ del eje de la torre. Desenrolla la pared del cilindro en un plano: una cuerda tensa se vuelve un solo segmento recto de longitud $20$ que sube $4$ pies, así que su proyección horizontal tiene longitud $\sqrt{20^2 - 4^2} = 8\sqrt{6}$ , y cada trozo de la cuerda tiene la misma razón $\frac{20}{8\sqrt{6}} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$ entre longitud y proyección horizontal.

Vista desde arriba, la parte libre $PQ$ es tangente a la circunferencia de radio $8$ en $P$ desde un punto a distancia $12$ , así que su proyección horizontal tiene longitud $\sqrt{12^2 - 8^2} = 4\sqrt{5}$ . Por lo tanto $\begin{aligned} PQ &= \frac{5}{2\sqrt{6}} \cdot 4\sqrt{5} \\ &= \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{5\sqrt{30}}{3}. \end{aligned}$

La cuerda que toca la torre tiene longitud $20 - \frac{5\sqrt{30}}{3} = \frac{60 - \sqrt{750}}{3},$ y $c = 3$ es primo, así que $a + b + c = 60 + 750 + 3 = 813.$

The rope runs from its anchor $A$ at the base of the tower, hugs the wall up to a point $P,$ then goes straight to its end $Q,$ which is at height $4$ and at distance $8 + 4 = 12$ from the tower's axis. Unroll the cylinder's wall into a plane: a taut rope becomes a single straight segment of length $20$ rising $4$ feet, so its horizontal projection has length $\sqrt{20^2 - 4^2} = 8\sqrt{6},$ and every piece of the rope has the same ratio $\frac{20}{8\sqrt{6}} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$ of length to horizontal projection.

Viewed from above, the free portion $PQ$ is tangent to the circle of radius $8$ at $P$ from a point at distance $12,$ so its horizontal projection has length $\sqrt{12^2 - 8^2} = 4\sqrt{5}.$ Therefore $\begin{aligned} PQ &= \frac{5}{2\sqrt{6}} \cdot 4\sqrt{5} \\ &= \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{5\sqrt{30}}{3}. \end{aligned}$

The rope touching the tower has length $20 - \frac{5\sqrt{30}}{3} = \frac{60 - \sqrt{750}}{3},$ and $c = 3$ is prime, so $a + b + c = 60 + 750 + 3 = 813.$

15.

Para todos los enteros positivos $x,$ sea $f(x) = \scriptsize\begin{cases} 1 & \text{if } x = 1, \\ x/10 & \text{if } x \text{ is divisible by } 10, \\ x + 1 & \text{otherwise,} \end{cases}$ y define una sucesión de la siguiente manera: $x_1 = x$ y $x_{n+1} = f(x_n)$ para todos los enteros positivos $n.$ Sea $d(x)$ el menor $n$ tal que $x_n = 1.$ (Por ejemplo, $d(100) = 3$ y $d(87) = 7.$ ) Sea $m$ el número de enteros positivos $x$ tales que $d(x) = 20.$ Halla la suma de los distintos factores primos de $m.$

For all positive integers $x,$ let $f(x) = \scriptsize\begin{cases} 1 & \text{if } x = 1, \\ x/10 & \text{if } x \text{ is divisible by } 10, \\ x + 1 & \text{otherwise,} \end{cases}$ and define a sequence as follows: $x_1 = x$ and $x_{n+1} = f(x_n)$ for all positive integers $n.$ Let $d(x)$ be the smallest $n$ such that $x_n = 1.$ (For example, $d(100) = 3$ and $d(87) = 7.$ ) Let $m$ be the number of positive integers $x$ such that $d(x) = 20.$ Find the sum of the distinct prime factors of $m.$

Respuesta

Respuesta: 511

Conceptos:conteo recursivo diagrama de árbol trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Trabaja hacia atrás: $f(z') = z$ para $z' = 10z$ (siempre) y para $z' = z - 1$ (siempre que $z - 1$ no sea múltiplo de $10$ y $z - 1 \ne 1,$ es decir, $z$ no termine en $1$ y $z \ne 2$ ). Así que los enteros con $d(x) = n$ forman la columna $n$ de un árbol con raíz en $1:$ las columnas empiezan $\{1\},$ $\{10\},$ $\{9, 100\},$ $\{8, 90, 99, 1000\},$ y cada vértice tiene dos hijos excepto $2$ y los vértices que terminan en $1,$ que tienen solo el hijo $10z.$

Localiza esos vértices con un solo hijo. Como $2 \to 3 \to \cdots \to 10 \to 1,$ el vértice $2$ está en la columna $10.$ Un vértice que termina en $1$ se alcanza restando $1$ nueve veces desde un vértice que termina en $0,$ así que tales vértices están $9$ columnas después de los múltiplos de $10$ en el árbol. Las columnas $2$ a $10$ se duplican perfectamente (no aparecen vértices con un solo hijo tan pronto), así que la columna $j$ tiene $2^{j-2}$ vértices, de los cuales los múltiplos de $10$ , los hijos $10z$ de la columna $j - 1$ , suman $2^{j-3}.$ Por lo tanto, para $12 \le k \le 19,$ la columna $k$ contiene $2^{k-12}$ vértices que terminan en $1$ (la columna $11$ no tiene ninguno, porque el múltiplo de $10$ en la columna $2$ es $10$ mismo, cuyo descendiente $1$ está excluido, y esa exclusión es exactamente el hijo faltante de $2$ ).

Un vértice con un solo hijo en la columna $k$ quita $2^{19-k}$ de los potenciales $2^{18}$ vértices de la columna $20.$ Por lo tanto $\begin{aligned} m &= 2^{18} - 2^{9} \\ &\quad {}- \sum_{k=12}^{19} 2^{k-12} \cdot 2^{19-k} \\ &= 2^{18} - 2^9 - 8 \cdot 2^7 \\ &= 2^9(2^9 - 1 - 2) \\ &= 2^9 \cdot 509. \end{aligned}$ Como $509$ es primo, la suma de los distintos factores primos de $m$ es $2 + 509 = 511.$

Work backwards: $f(z') = z$ for $z' = 10z$ (always) and for $z' = z - 1$ (provided $z - 1$ is not a multiple of $10$ and $z - 1 \ne 1,$ i.e. $z$ does not end in $1$ and $z \ne 2$ ). So the integers with $d(x) = n$ form column $n$ of a tree rooted at $1:$ the columns begin $\{1\},$ $\{10\},$ $\{9, 100\},$ $\{8, 90, 99, 1000\},$ and every vertex has two children except $2$ and the vertices ending in $1,$ which have only the child $10z.$

Locate those one-child vertices. Since $2 \to 3 \to \cdots \to 10 \to 1,$ the vertex $2$ sits in column $10.$ A vertex ending in $1$ is reached by subtracting $1$ nine times from a vertex ending in $0,$ so such vertices sit $9$ columns after the multiples of $10$ in the tree. Columns $2$ through $10$ double perfectly (no one-child vertices occur that early), so column $j$ has $2^{j-2}$ vertices, of which the multiples of $10$ — the children $10z$ of column $j - 1$ — number $2^{j-3}.$ Hence for $12 \le k \le 19,$ column $k$ contains $2^{k-12}$ vertices ending in $1$ (column $11$ has none, because the multiple of $10$ in column $2$ is $10$ itself, whose descendant $1$ is excluded — that exclusion is exactly the missing child of $2$ ).

A one-child vertex in column $k$ removes $2^{19-k}$ of the potential $2^{18}$ vertices from column $20.$ Therefore $\begin{aligned} m &= 2^{18} - 2^{9} \\ &\quad {}- \sum_{k=12}^{19} 2^{k-12} \cdot 2^{19-k} \\ &= 2^{18} - 2^9 - 8 \cdot 2^7 \\ &= 2^9(2^9 - 1 - 2) \\ &= 2^9 \cdot 509. \end{aligned}$ Since $509$ is prime, the sum of the distinct prime factors of $m$ is $2 + 509 = 511.$

Problemas del 2004 AIME I

Respuesta: 217

Solución:

Respuesta: 201

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Respuesta: 241

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Respuesta: 86

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Respuesta: 849

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Respuesta: 882

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Respuesta: 588

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Respuesta: 199

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Respuesta: 35

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Respuesta: 817

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Respuesta: 512

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Respuesta: 14

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Respuesta: 482

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Respuesta: 813

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Respuesta: 511

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