Question

Un entero se llama serpenteante si su representación decimal $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ satisface $a_i \lt a_{i+1}$ cuando $i$ es impar y $a_i \gt a_{i+1}$ cuando $i$ es par. ¿Cuántos enteros serpenteantes entre $1000$ y $9999$ tienen cuatro dígitos distintos?

An integer is called snakelike if its decimal representation $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ satisfies $a_i \lt a_{i+1}$ if $i$ is odd and $a_i \gt a_{i+1}$ if $i$ is even. How many snakelike integers between $1000$ and $9999$ have four distinct digits?

Respuesta

Solución:

Un número serpenteante de cuatro dígitos satisface $a_1 \lt a_2 \gt a_3 \lt a_4.$ Primero contemos los ordenamientos de cuatro dígitos distintos cualesquiera $w \lt x \lt y \lt z$ en este patrón. El mayor dígito $z$ debe ocupar la posición $2$ o la $4.$ Si $z$ está en la posición $4,$ los otros tres forman $a_1 \lt a_2 \gt a_3,$ así que el mayor de ellos ocupa la posición $2$ y los dos restantes pueden ir en cualquier orden: $2$ maneras. Si $z$ está en la posición $2,$ cualquiera de los otros tres dígitos puede ser $a_1,$ y entonces $a_3 \lt a_4$ fija el resto: $3$ maneras. Así que cada conjunto de cuatro dígitos admite exactamente $5$ ordenamientos serpenteantes.

Si $0$ no está entre los dígitos, los $5$ ordenamientos dan números válidos: $\binom{9}{4} \cdot 5 = 630.$ Si $0$ está entre ellos, nota que $0$ debe ocupar la posición $1$ o la $3$ (las posiciones $2$ y $4$ deben superar a un vecino), y la posición $1$ está prohibida. Con $0$ en la posición $3,$ cualquiera de los otros tres dígitos puede ser $a_4,$ y $a_1 \lt a_2$ fija el resto, así que $3$ de los $5$ ordenamientos sobreviven: $\binom{9}{3} \cdot 3 = 252.$

El total es $630 + 252 = 882.$

A four-digit snakelike number satisfies $a_1 \lt a_2 \gt a_3 \lt a_4.$ First count the arrangements of any four distinct digits $w \lt x \lt y \lt z$ into this pattern. The largest digit $z$ must sit in position $2$ or $4.$ If $z$ is in position $4,$ the other three form $a_1 \lt a_2 \gt a_3,$ so the largest of them takes position $2$ and the remaining two can go in either order: $2$ ways. If $z$ is in position $2,$ any of the other three digits can be $a_1,$ and then $a_3 \lt a_4$ fixes the rest: $3$ ways. So each set of four digits admits exactly $5$ snakelike orders.

If $0$ is not among the digits, all $5$ orders give valid numbers: $\binom{9}{4} \cdot 5 = 630.$ If $0$ is among them, note $0$ must occupy position $1$ or $3$ (positions $2$ and $4$ must exceed a neighbor), and position $1$ is forbidden. With $0$ in position $3,$ any of the other three digits can be $a_4,$ and $a_1 \lt a_2$ fixes the rest, so $3$ of the $5$ orders survive: $\binom{9}{3} \cdot 3 = 252.$

The total is $630 + 252 = 882.$

2004 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años