Question

Sea

C

el coeficiente de

x^2

en el desarrollo del producto

\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}

Halla

|C|.

Let

C

be the coefficient of

x^2

in the expansion of the product

\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}

Find

|C|.

Respuesta

Respuesta: 588

Conceptos:polinomio manipulación algebraica suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

El coeficiente de

x^2

es la suma de los productos de pares tomados de

-1, 2, -3, \ldots, 14, -15

The

x^2

coefficient is the sum of the products of pairs from

-1, 2, -3, \ldots, 14, -15

Pista grande:

Usa

2\sum_{i \lt j} a_i a_j = \left(\sum a_i\right)^2 - \sum a_i^2,

y la suma alternante es

-8

Use

2\sum_{i \lt j} a_i a_j = \left(\sum a_i\right)^2 - \sum a_i^2,

and the alternating sum is

-8

Solución:

Escribe el producto como

\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)

con

a_k = (-1)^k k.

Un término

x^2

surge al elegir el término en

x

de dos factores, así que

C = \sum_{i \lt j} a_i a_j,

y

C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}.

La suma alternante es

\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8, \end{aligned}

y

\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240. \end{aligned}

Por lo tanto

C = \frac{64 - 1240}{2} = -588,

así que

|C| = 588.

Write the product as

\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)

with

a_k = (-1)^k k.

An

x^2

term arises by choosing the

x

-term from two factors, so

C = \sum_{i \lt j} a_i a_j,

and

C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}.

The alternating sum is

\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8, \end{aligned}

and

\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240. \end{aligned}

Thus

C = \frac{64 - 1240}{2} = -588,

so

|C| = 588.

2004 AIME I Problema 7

Respuesta: 588

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años