Question

Sea $C$ el coeficiente de $x^2$ en el desarrollo del producto $\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}$ Halla $|C|.$

Let $C$ be the coefficient of $x^2$ in the expansion of the product $\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}$ Find $|C|.$

Respuesta

Solución:

Escribe el producto como $\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)$ con $a_k = (-1)^k k.$ Un término $x^2$ surge al elegir el término en $x$ de dos factores, así que $C = \sum_{i \lt j} a_i a_j,$ y $C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}.$

La suma alternante es $\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240. \end{aligned}$

Por lo tanto $C = \frac{64 - 1240}{2} = -588,$ así que $|C| = 588.$

Write the product as $\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)$ with $a_k = (-1)^k k.$ An $x^2$ term arises by choosing the $x$ -term from two factors, so $C = \sum_{i \lt j} a_i a_j,$ and $C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}.$

The alternating sum is $\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240. \end{aligned}$

Thus $C = \frac{64 - 1240}{2} = -588,$ so $|C| = 588.$

2004 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años