Question

ABCD

es una hoja rectangular de papel que se ha doblado de modo que la esquina

B

coincide con el punto

B'

sobre el borde

\overline{AD}.

El pliegue es

\overline{EF},

donde

E

está sobre

\overline{AB}

y

F

está sobre

\overline{CD}.

Se dan las dimensiones

AE = 8,

BE = 17,

y

CF = 3.

El perímetro del rectángulo

ABCD

es

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

ABCD

is a rectangular sheet of paper that has been folded so that corner

B

is matched with point

B'

on edge

\overline{AD}.

The crease is

\overline{EF},

where

E

is on

\overline{AB}

and

F

is on

\overline{CD}.

The dimensions

AE = 8,

BE = 17,

and

CF = 3

are given. The perimeter of rectangle

ABCD

is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 293

Conceptos:plegado de papel Teorema de Pitágoras geometría analítica

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

El doblez conserva distancias, así que

B'E = BE = 17;

el triángulo rectángulo

AEB'

da

AB' = 15

y

AB = 25

.

Folding preserves distances, so

B'E = BE = 17;

right triangle

AEB'

gives

AB' = 15

and

AB = 25

Pista grande:

Todo punto del pliegue equidista de

B

y

B',

así que

\overline{EF} \perp \overline{BB'};

usa la pendiente de

EF

para ubicar

F

sobre

\overline{CD}

.

Every point of the crease is equidistant from

B

and

B',

so

\overline{EF} \perp \overline{BB'};

use the slope of

EF

to locate

F

on

\overline{CD}

Solución:

El doblez refleja

B

hacia

B'

a través del pliegue, así que

B'E = BE = 17.

En el triángulo rectángulo

AEB',

AB' = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15,

y

AB = AE + EB = 25.

Coloca

A = (0, 0),

B = (25, 0),

B' = (0, 15).

Los puntos del pliegue equidistan de

B

y

B',

así que

\overline{EF}

es perpendicular a

\overline{BB'}.

Como

BB'

tiene pendiente

-\frac{3}{5},

el pliegue que pasa por

E = (8, 0)

tiene pendiente

\frac{5}{3},

y corta a la recta

CD

(a altura

h = BC

) en

x = 8 + \frac{3h}{5}.

La condición

CF = 3

da

25 - \left(8 + \frac{3h}{5}\right) = 3,

así que

h = \frac{70}{3}.

El perímetro es

2\left(25 + \frac{70}{3}\right) = \frac{290}{3},

así que

m + n = 290 + 3 = 293.

Folding reflects

B

to

B'

across the crease, so

B'E = BE = 17.

In right triangle

AEB',

AB' = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15,

and

AB = AE + EB = 25.

Place

A = (0, 0),

B = (25, 0),

B' = (0, 15).

Points on the crease are equidistant from

B

and

B',

so

\overline{EF}

is perpendicular to

\overline{BB'}.

Since

BB'

has slope

-\frac{3}{5},

the crease through

E = (8, 0)

has slope

\frac{5}{3},

and it meets the line

CD

(at height

h = BC

) at

x = 8 + \frac{3h}{5}.

The condition

CF = 3

gives

25 - \left(8 + \frac{3h}{5}\right) = 3,

so

h = \frac{70}{3}.

The perimeter is

2\left(25 + \frac{70}{3}\right) = \frac{290}{3},

so

m + n = 290 + 3 = 293.

2004 AIME II Problema 7

Respuesta: 293

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años