Question

Cada vértice de un dodecágono regular ( $12$ -gono) se colorea de rojo o de azul, por lo que hay $2^{12}$ coloraciones posibles. Halla el número de estas coloraciones con la propiedad de que no haya cuatro vértices del mismo color que sean los cuatro vértices de un rectángulo.

Each vertex of a regular dodecagon ( $12$ -gon) is to be colored either red or blue, and thus there are $2^{12}$ possible colorings. Find the number of these colorings with the property that no four vertices colored the same color are the four vertices of a rectangle.

Respuesta

Solución:

Los doce vértices están sobre una circunferencia, y un rectángulo inscrito en una circunferencia debe tener sus diagonales pasando por el centro. Así que los rectángulos con vértices entre los doce son exactamente las parejas de diámetros distintos, donde los diámetros unen los $6$ pares antipodales de vértices. Aparece un rectángulo monocromático exactamente cuando dos pares antipodales están coloreados por completo del mismo color.

Cada par antipodal es, de manera independiente, ambos rojos ( $1$ forma), ambos azules ( $1$ forma) o mixto ( $2$ formas). Una coloración es válida exactamente cuando a lo sumo un par es de ambos rojos y a lo sumo un par es de ambos azules. Contando según el número de pares totalmente rojos y totalmente azules: $\begin{gathered} 2^6 + 6 \cdot 2^5 \\ {}+ 6 \cdot 2^5 + 6 \cdot 5 \cdot 2^4 \\ = 64 + 192 + 192 + 480 \\ = 928. \end{gathered}$

The twelve vertices lie on a circle, and a rectangle inscribed in a circle must have its diagonals pass through the center. So the rectangles with vertices among the twelve are exactly the pairs of distinct diameters, where the diameters join the $6$ antipodal pairs of vertices. A monochromatic rectangle appears exactly when two antipodal pairs are each colored solidly in the same color.

Each antipodal pair is independently both red ( $1$ way), both blue ( $1$ way), or mixed ( $2$ ways). A coloring is valid exactly when at most one pair is both red and at most one pair is both blue. Counting by the numbers of solid red and solid blue pairs: $\begin{gathered} 2^6 + 6 \cdot 2^5 \\ {}+ 6 \cdot 2^5 + 6 \cdot 5 \cdot 2^4 \\ = 64 + 192 + 192 + 480 \\ = 928. \end{gathered}$

2023 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años