Question

Sea

\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k \\ &\quad {}\cdot \left(\lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor\right). \end{aligned}

Halla el residuo cuando

N

se divide entre

1000.

(Aquí

\lfloor x \rfloor

denota el mayor entero que es menor o igual que

x,

y

\lceil x \rceil

denota el menor entero que es mayor o igual que

x.

)

Let

\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k \\ &\quad {}\cdot \left(\lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor\right). \end{aligned}

Find the remainder when

N

is divided by

1000.

(Here

\lfloor x \rfloor

denotes the greatest integer that is less than or equal to

x,

and

\lceil x \rceil

denotes the least integer that is greater than or equal to

x.

)

Respuesta

Respuesta: 477

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo potencia de 2 sumatoria

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor

es igual a

1

salvo que

x

sea entero, en cuyo caso es igual a

0

\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor

equals

1

unless

x

is an integer, when it equals

0

Pista grande:

Para enteros

k,

\log_{\sqrt{2}} k

es entero exactamente cuando

k

es una potencia de

2,

así que resta las potencias de

2

de

1 + 2 + \cdots + 1000

For integers

k,

\log_{\sqrt{2}} k

is an integer exactly when

k

is a power of

2,

so subtract the powers of

2

from

1 + 2 + \cdots + 1000

Solución:

La diferencia

\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor

es igual a

1

cuando

x

no es entero y a

0

cuando sí lo es. Ahora bien,

\log_{\sqrt{2}} k

es entero exactamente cuando

k = (\sqrt{2})^j

para algún entero

j,

y para que

k

sea entero,

j

debe ser par, es decir,

k

debe ser una potencia de

2.

Las potencias que son a lo sumo

1000

son

2^0, 2^1, \ldots, 2^9 = 512.

Por lo tanto

\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k - \sum_{j=0}^{9} 2^j \\ &= \frac{1000 \cdot 1001}{2} - 1023 \\ &= 500500 - 1023 = 499477, \end{aligned}

y el residuo al dividir entre

1000

es

477.

The difference

\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor

equals

1

when

x

is not an integer and

0

when it is. Now

\log_{\sqrt{2}} k

is an integer exactly when

k = (\sqrt{2})^j

for some integer

j,

and for

k

to be an integer,

j

must be even — that is,

k

must be a power of

2.

The powers at most

1000

are

2^0, 2^1, \ldots, 2^9 = 512.

Therefore

\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k - \sum_{j=0}^{9} 2^j \\ &= \frac{1000 \cdot 1001}{2} - 1023 \\ &= 500500 - 1023 = 499477, \end{aligned}

and the remainder upon division by

1000

is

477.

2007 AIME I Problema 7

Respuesta: 477

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años