Question

Hay enteros positivos $x$ y $y$ que satisfacen el sistema de ecuaciones $\log_{10} x + 2\log_{10}(\gcd(x, y)) = 60$ $\begin{aligned} &\log_{10} y \\ &\quad {}+ 2\log_{10}(\operatorname{lcm}(x, y)) = 570. \end{aligned}$ Sea $m$ el número de factores primos (no necesariamente distintos) en la factorización en primos de $x,$ y sea $n$ el número de factores primos (no necesariamente distintos) en la factorización en primos de $y.$ Halle $3m + 2n.$

There are positive integers $x$ and $y$ that satisfy the system of equations $\log_{10} x + 2\log_{10}(\gcd(x, y)) = 60$ $\begin{aligned} &\log_{10} y \\ &\quad {}+ 2\log_{10}(\operatorname{lcm}(x, y)) = 570. \end{aligned}$ Let $m$ be the number of (not necessarily distinct) prime factors in the prime factorization of $x,$ and let $n$ be the number of (not necessarily distinct) prime factors in the prime factorization of $y.$ Find $3m + 2n.$

Respuesta

Solución:

Las ecuaciones dicen $x \cdot \gcd(x,y)^2 = 10^{60}$ y $y \cdot \operatorname{lcm}(x,y)^2 = 10^{570},$ así que $x$ y $y$ son productos únicamente de los primos $2$ y $5.$ Fije uno de estos primos y sean $a$ y $b$ sus exponentes en $x$ y $y.$ Como el gcd toma el exponente menor y el lcm el mayor, $\begin{aligned} a + 2\min(a, b) &= 60, \\ b + 2\max(a, b) &= 570. \end{aligned}$

Si $a \gt b,$ entonces $a + 2b = 60$ y $b + 2a = 570;$ sumando da $a + b = 210,$ y restando da $a - b = 510,$ lo que fuerza $b \lt 0,$ imposible. Así que $a \le b,$ y las ecuaciones se convierten en $3a = 60$ y $3b = 570,$ dando $a = 20$ y $b = 190$ para ambos primos.

Por lo tanto $x = 2^{20} 5^{20}$ y $y = 2^{190} 5^{190},$ así que $m = 40,$ $n = 380,$ y $3m + 2n = 120 + 760 = 880.$

The equations say $x \cdot \gcd(x,y)^2 = 10^{60}$ and $y \cdot \operatorname{lcm}(x,y)^2 = 10^{570},$ so $x$ and $y$ are products of the primes $2$ and $5$ only. Fix one of these primes and let $a$ and $b$ be its exponents in $x$ and $y.$ Since the gcd takes the smaller exponent and the lcm the larger, $\begin{aligned} a + 2\min(a, b) &= 60, \\ b + 2\max(a, b) &= 570. \end{aligned}$

If $a \gt b,$ then $a + 2b = 60$ and $b + 2a = 570;$ adding gives $a + b = 210,$ and subtracting gives $a - b = 510,$ forcing $b \lt 0,$ impossible. So $a \le b,$ and the equations become $3a = 60$ and $3b = 570,$ giving $a = 20$ and $b = 190$ for both primes.

Thus $x = 2^{20} 5^{20}$ and $y = 2^{190} 5^{190},$ so $m = 40,$ $n = 380,$ and $3m + 2n = 120 + 760 = 880.$

2019 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años