Question

En cada uno de los dieciséis círculos de la red de abajo hay un estudiante. Un total de $3360$ monedas se reparten entre los dieciséis estudiantes. Todos a la vez, todos los estudiantes regalan todas sus monedas repartiendo un número igual de monedas a cada uno de sus vecinos en la red. Después del intercambio, todos los estudiantes tienen el mismo número de monedas con el que empezaron. Halla el número de monedas que tenía originalmente el estudiante situado en el círculo central.

At each of the sixteen circles in the network below stands a student. A total of $3360$ coins are distributed among the sixteen students. All at once, all students give away all their coins by passing an equal number of coins to each of their neighbors in the network. After the trade, all students have the same number of coins as they started with. Find the number of coins the student standing at the center circle had originally.

Respuesta

Solución:

Agrupa los dieciséis círculos en anillos: el centro, el anillo interno de cinco, el anillo intermedio de cinco y el anillo externo de cinco, que contienen en total $p,$ $q,$ $r,$ y $s$ monedas, respectivamente. El centro tiene $5$ vecinos (el anillo interno); cada estudiante interno tiene $3$ (el centro y dos estudiantes intermedios); cada estudiante intermedio tiene $4$ (dos internos y dos externos); cada estudiante externo tiene $4$ (dos intermedios y dos externos). Un estudiante con $k$ vecinos envía $\frac{1}{k}$ de sus monedas a cada vecino.

Sumando los intercambios en cada anillo (por ejemplo, el anillo externo recibe un cuarto de las monedas de cada estudiante intermedio dos veces, lo que totaliza $\frac{r}{2}$ ) se obtiene $\begin{aligned} p &= \frac{q}{3}, \\ q &= p + \frac{r}{2}, \\ r &= \frac{2q}{3} + \frac{s}{2}, \\ s &= \frac{r}{2} + \frac{s}{2}. \end{aligned}$

La primera ecuación da $q = 3p,$ la segunda da entonces $r = 2(q - p) = 4p,$ y la última da $s = r = 4p.$ El total es $p + 3p + 4p + 4p = 12p = 3360,$ así que el estudiante del centro tenía $p = 280$ monedas.

Group the sixteen circles into rings: the center, the inner ring of five, the middle ring of five, and the outer ring of five, holding $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ coins in total, respectively. The center has $5$ neighbors (the inner ring); each inner student has $3$ (the center and two middle students); each middle student has $4$ (two inner and two outer); each outer student has $4$ (two middle and two outer). A student with $k$ neighbors sends $\frac{1}{k}$ of their coins to each neighbor.

Summing the trades over each ring (for example, the outer ring receives a quarter of each middle student's coins twice over, which totals $\frac{r}{2}$ ) gives $\begin{aligned} p &= \frac{q}{3}, \\ q &= p + \frac{r}{2}, \\ r &= \frac{2q}{3} + \frac{s}{2}, \\ s &= \frac{r}{2} + \frac{s}{2}. \end{aligned}$

The first equation gives $q = 3p,$ the second then gives $r = 2(q - p) = 4p,$ and the last gives $s = r = 4p.$ The total is $p + 3p + 4p + 4p = 12p = 3360,$ so the center student had $p = 280$ coins.

2012 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años