Respuesta: 699

Pista pequeña:

Cambiar un dígito a $1$ resta $(\text{dígito} - 1)$ veces una potencia de $10,$ así que $N \equiv 6(a-1)$ $\equiv 2(b-1)$ $\equiv 3(c-1)$ $\equiv d - 1 \pmod 7$ para los dígitos $a, b, c, d$

Pista grande:

Sea $k = N \bmod 7:$ cada dígito queda entonces determinado módulo $7,$ y la consistencia de $N$ con sus propios dígitos obliga a un único valor de $k$

Solución:

Escribe $N$ con dígitos $a, b, c, d.$ Cambiar el dígito de los millares a $1$ produce $N - (a - 1) \cdot 1000,$ así que $N \equiv 1000(a-1) \pmod 7,$ y de forma análoga para los demás dígitos. Como $1000 \equiv 6,$ $100 \equiv 2,$ y $10 \equiv 3 \pmod 7,$ $$\begin{aligned} N &\equiv 6(a-1) \\ &\equiv 2(b-1) \equiv 3(c-1) \\ &\equiv d - 1 \pmod 7. \end{aligned}$$

Sea $k = N \bmod 7.$ Usando $6 \equiv -1$ y los inversos $2^{-1} \equiv 4,$ $3^{-1} \equiv 5,$ los dígitos cumplen $a \equiv 1 - k,$ $b \equiv 1 + 4k,$ $c \equiv 1 + 5k,$ $d \equiv 1 + k \pmod 7.$ Pero además $k \equiv N$ $\equiv 6a + 2b + 3c + d \pmod 7;$ sustituyendo se obtiene $k \equiv 12 + 18k \equiv 5 + 4k,$ así que $3k \equiv 2$ y $k \equiv 3 \pmod 7.$

Entonces $a \equiv 5,$ $b \equiv 6,$ $c \equiv 2,$ $d \equiv 4 \pmod 7,$ y tomando el mayor dígito en cada clase se obtiene $a = 5$ (la clase $\{5, 12, \ldots\}$ no tiene un dígito mayor), $b = 6,$ $c = 9,$ $d = 4:$ $N = 5694.$ En efecto, $1694, 5194, 5614, 5691$ son todos múltiplos de $7.$ Finalmente $Q = 5,$ $R = 694,$ y $Q + R = 699.$