Question

Sea $N$ el mayor entero de cuatro dígitos con la propiedad de que cada vez que uno de sus dígitos se cambia a $1,$ el número resultante es divisible entre $7.$ Sean $Q$ y $R$ el cociente y el resto, respectivamente, cuando $N$ se divide entre $1000.$ Halla $Q + R.$

Let $N$ be the greatest four-digit integer with the property that whenever one of its digits is changed to $1,$ the resulting number is divisible by $7.$ Let $Q$ and $R$ be the quotient and remainder, respectively, when $N$ is divided by $1000.$ Find $Q + R.$

Respuesta

Solución:

Escribe $N$ con dígitos $a, b, c, d.$ Cambiar el dígito de los millares a $1$ produce $N - (a - 1) \cdot 1000,$ así que $N \equiv 1000(a-1) \pmod 7,$ y de forma análoga para los demás dígitos. Como $1000 \equiv 6,$ $100 \equiv 2,$ y $10 \equiv 3 \pmod 7,$ $\begin{aligned} N &\equiv 6(a-1) \\ &\equiv 2(b-1) \equiv 3(c-1) \\ &\equiv d - 1 \pmod 7. \end{aligned}$

Sea $k = N \bmod 7.$ Usando $6 \equiv -1$ y los inversos $2^{-1} \equiv 4,$ $3^{-1} \equiv 5,$ los dígitos cumplen $a \equiv 1 - k,$ $b \equiv 1 + 4k,$ $c \equiv 1 + 5k,$ $d \equiv 1 + k \pmod 7.$ Pero además $k \equiv N$ $\equiv 6a + 2b + 3c + d \pmod 7;$ sustituyendo se obtiene $k \equiv 12 + 18k \equiv 5 + 4k,$ así que $3k \equiv 2$ y $k \equiv 3 \pmod 7.$

Entonces $a \equiv 5,$ $b \equiv 6,$ $c \equiv 2,$ $d \equiv 4 \pmod 7,$ y tomando el mayor dígito en cada clase se obtiene $a = 5$ (la clase $\{5, 12, \ldots\}$ no tiene un dígito mayor), $b = 6,$ $c = 9,$ $d = 4:$ $N = 5694.$ En efecto, $1694, 5194, 5614, 5691$ son todos múltiplos de $7.$ Finalmente $Q = 5,$ $R = 694,$ y $Q + R = 699.$

Write $N$ with digits $a, b, c, d.$ Changing the thousands digit to $1$ produces $N - (a - 1) \cdot 1000,$ so $N \equiv 1000(a-1) \pmod 7,$ and similarly for the other digits. Since $1000 \equiv 6,$ $100 \equiv 2,$ and $10 \equiv 3 \pmod 7,$ $\begin{aligned} N &\equiv 6(a-1) \\ &\equiv 2(b-1) \equiv 3(c-1) \\ &\equiv d - 1 \pmod 7. \end{aligned}$

Let $k = N \bmod 7.$ Using $6 \equiv -1$ and the inverses $2^{-1} \equiv 4,$ $3^{-1} \equiv 5,$ the digits satisfy $a \equiv 1 - k,$ $b \equiv 1 + 4k,$ $c \equiv 1 + 5k,$ $d \equiv 1 + k \pmod 7.$ But also $k \equiv N$ $\equiv 6a + 2b + 3c + d \pmod 7;$ substituting gives $k \equiv 12 + 18k \equiv 5 + 4k,$ so $3k \equiv 2$ and $k \equiv 3 \pmod 7.$

Then $a \equiv 5,$ $b \equiv 6,$ $c \equiv 2,$ $d \equiv 4 \pmod 7,$ and taking the largest digit in each class gives $a = 5$ (the class $\{5, 12, \ldots\}$ has no larger digit), $b = 6,$ $c = 9,$ $d = 4:$ $N = 5694.$ Indeed $1694, 5194, 5614, 5691$ are all multiples of $7.$ Finally $Q = 5,$ $R = 694,$ and $Q + R = 699.$

2024 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años