Question

Sea $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son reales. Existe un número complejo $w$ tal que las tres raíces de $P(z)$ son $w + 3i,$ $w + 9i,$ y $2w - 4,$ donde $i^2 = -1.$ Halla $|a + b + c|.$

Let $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are real. There exists a complex number $w$ such that the three roots of $P(z)$ are $w + 3i,$ $w + 9i,$ and $2w - 4,$ where $i^2 = -1.$ Find $|a + b + c|.$

Respuesta

Solución:

Escribe $w = x + yi$ con $x, y$ reales. La suma de las raíces es $4w + 12i - 4 = -a,$ que es real, así que $4y + 12 = 0$ y $y = -3.$ Las raíces son entonces $x,$ $x + 6i,$ y $2x - 4 - 6i.$ Como los coeficientes son reales, las dos raíces no reales deben ser conjugadas, así que $2x - 4 = x,$ dando $x = 4.$ Las raíces son $4,$ $4 + 6i,$ y $4 - 6i.$

Ahora $\begin{aligned} 1 + a + b + c &= P(1) \\ &= (1 - 4) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 + 6i)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 - 6i)\bigr) \\ &= (-3)(9 + 36) \\ &= -135, \end{aligned}$ así que $a + b + c = -136$ y $|a + b + c| = 136.$

Write $w = x + yi$ with $x, y$ real. The sum of the roots is $4w + 12i - 4 = -a,$ which is real, so $4y + 12 = 0$ and $y = -3.$ The roots are then $x,$ $x + 6i,$ and $2x - 4 - 6i.$ Because the coefficients are real, the two non-real roots must be conjugates, so $2x - 4 = x,$ giving $x = 4.$ The roots are $4,$ $4 + 6i,$ and $4 - 6i.$

Now $\begin{aligned} 1 + a + b + c &= P(1) \\ &= (1 - 4) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 + 6i)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 - 6i)\bigr) \\ &= (-3)(9 + 36) \\ &= -135, \end{aligned}$ so $a + b + c = -136$ and $|a + b + c| = 136.$

2010 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años