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2010 AIME II Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2010 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

Sea P(z)=z3+az2+bz+c,P(z) = z^3 + az^2 + bz + c, donde a,a, b,b, y cc son reales. Existe un número complejo ww tal que las tres raíces de P(z)P(z) son w+3i,w + 3i, w+9i,w + 9i, y 2w−4,2w - 4, donde i2=−1.i^2 = -1. Halla ∣a+b+c∣.|a + b + c|.

Let P(z)=z3+az2+bz+c,P(z) = z^3 + az^2 + bz + c, where a,a, b,b, and cc are real. There exists a complex number ww such that the three roots of P(z)P(z) are w+3i,w + 3i, w+9i,w + 9i, and 2w−4,2w - 4, where i2=−1.i^2 = -1. Find ∣a+b+c∣.|a + b + c|.

Respuesta: 136
Conceptos:número complejopolinomioFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 2410
Pista pequeña:

La suma de las raíces, 4w+12i−4,4w + 12i - 4, debe ser real; esto determina la parte imaginaria de w.w.

The sum of the roots, 4w+12i−4,4w + 12i - 4, must be real; this determines the imaginary part of ww

Pista grande:

Los coeficientes reales obligan a que las dos raíces no reales sean conjugadas, y 1+a+b+c=P(1).1 + a + b + c = P(1).

Real coefficients force the two non-real roots to be conjugates, and 1+a+b+c=P(1)1 + a + b + c = P(1)

Solución:

Escribe w=x+yiw = x + yi con xx e yy reales. La suma de las raíces es 4w+12i−4=−a,4w + 12i - 4 = -a, que es real, así que 4y+12=04y + 12 = 0 y y=−3.y = -3. Las raíces son entonces x,x, x+6i,x + 6i, y 2x−4−6i.2x - 4 - 6i. Como los coeficientes son reales, las dos raíces no reales deben ser conjugadas, así que 2x−4=x,2x - 4 = x, dando x=4.x = 4. Las raíces son 4,4, 4+6i,4 + 6i, y 4−6i.4 - 6i.

Ahora 1+a+b+c=P(1)=(1−4)⋅(1−(4+6i))⋅(1−(4−6i))=(−3)(9+36)=−135, \begin{aligned} 1 + a + b + c &= P(1) \\ &= (1 - 4) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 + 6i)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 - 6i)\bigr) \\ &= (-3)(9 + 36) \\ &= -135, \end{aligned} así que a+b+c=−136a + b + c = -136 y ∣a+b+c∣=136.|a + b + c| = 136.

Write w=x+yiw = x + yi with xx and yy real. The sum of the roots is 4w+12i−4=−a,4w + 12i - 4 = -a, which is real, so 4y+12=04y + 12 = 0 and y=−3.y = -3. The roots are then x,x, x+6i,x + 6i, and 2x−4−6i.2x - 4 - 6i. Because the coefficients are real, the two non-real roots must be conjugates, so 2x−4=x,2x - 4 = x, giving x=4.x = 4. The roots are 4,4, 4+6i,4 + 6i, and 4−6i.4 - 6i.

Now 1+a+b+c=P(1)=(1−4)⋅(1−(4+6i))⋅(1−(4−6i))=(−3)(9+36)=−135, \begin{aligned} 1 + a + b + c &= P(1) \\ &= (1 - 4) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 + 6i)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 - 6i)\bigr) \\ &= (-3)(9 + 36) \\ &= -135, \end{aligned} so a+b+c=−136a + b + c = -136 and ∣a+b+c∣=136.|a + b + c| = 136.

Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

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