Question

Sean $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ enteros distintos de $1$ a $9.$ El mínimo valor positivo posible de $\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ be distinct integers from $1$ to $9.$ The minimum possible positive value of $\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Intenta hacer que el numerador sea igual a $1$ manteniendo dígitos grandes en el denominador. Los productos $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ y $1 \cdot 5 \cdot 7 = 35$ difieren en $1$ y dejan $4, 8, 9$ para el denominador, dando el valor $\frac{36 - 35}{4 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{1}{288}.$

Para superar esto, una fracción necesitaría numerador $1$ con denominador mayor que $288.$ Los denominadores que superan $288$ son $\{7,8,9\},$ $\{6,8,9\},$ $\{5,8,9\},$ $\{6,7,9\},$ $\{5,7,9\},$ y $\{6,7,8\}.$ Al dividir los seis dígitos restantes en dos ternas en cada caso, los pares de productos más cercanos son $30$ y $24,$ $30$ y $28,$ $36$ y $28,$ $30$ y $28,$ $36$ y $32,$ y $36$ y $30,$ respectivamente, con diferencias de al menos $2,$ e incluso $\frac{2}{432} = \frac{1}{216}$ supera a $\frac{1}{288}.$

Así que el mínimo valor positivo es $\frac{1}{288},$ y $m + n = 1 + 288 = 289.$

Try to make the numerator equal to $1$ while keeping large digits in the denominator. The products $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ and $1 \cdot 5 \cdot 7 = 35$ differ by $1$ and leave $4, 8, 9$ for the denominator, giving the value $\frac{36 - 35}{4 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{1}{288}.$

To beat this, a fraction would need numerator $1$ with denominator greater than $288.$ The denominators exceeding $288$ are $\{7,8,9\},$ $\{6,8,9\},$ $\{5,8,9\},$ $\{6,7,9\},$ $\{5,7,9\},$ and $\{6,7,8\}.$ Splitting the remaining six digits into two triples in each case, the closest product pairs are $30$ and $24,$ $30$ and $28,$ $36$ and $28,$ $30$ and $28,$ $36$ and $32,$ and $36$ and $30,$ respectively — differences of at least $2,$ and even $\frac{2}{432} = \frac{1}{216}$ exceeds $\frac{1}{288}.$

So the minimum positive value is $\frac{1}{288},$ and $m + n = 1 + 288 = 289.$

2022 AIME I Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años