Question

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ $g,$ $h,$ $i$ enteros distintos de $1$ a $9.$ El mínimo valor positivo posible de $\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ $g,$ $h,$ $i$ be distinct integers from $1$ to $9.$ The minimum possible positive value of $\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 289

Conceptos:optimización argumento extremal acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Apunta a un numerador de $1:$ busca dos ternas de dígitos distintos cuyos productos difieran exactamente en $1$

Aim for a numerator of $1:$ look for two triples of distinct digits whose products differ by exactly $1$

Pista grande:

Reserva los tres dígitos sobrantes más grandes para el denominador, y luego descarta denominadores mayores mostrando que obligan a una diferencia de numerador de al menos $2$

Save the three largest leftover digits for the denominator, then rule out bigger denominators by showing they force a numerator difference of at least $2$

Solución:

Intenta hacer que el numerador sea igual a $1$ manteniendo dígitos grandes en el denominador. Los productos $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ y $1 \cdot 5 \cdot 7 = 35$ difieren en $1$ y dejan $4, 8, 9$ para el denominador, dando el valor $\frac{36 - 35}{4 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{1}{288}.$

Para superar esto, una fracción necesitaría numerador $1$ con denominador mayor que $288.$ Los denominadores que superan $288$ son $504,$ $432,$ $360,$ $378,$ $315,$ y $336,$ provenientes respectivamente de $\{7,8,9\},$ $\{6,8,9\},$ $\{5,8,9\},$ $\{6,7,9\},$ $\{5,7,9\},$ y $\{6,7,8\}.$ Al dividir los seis dígitos restantes en dos ternas, las menores diferencias positivas entre los productos son respectivamente $6,$ $2,$ $8,$ $2,$ $4,$ y $6.$ Los límites inferiores resultantes $\begin{aligned}&\frac{6}{504},\quad \frac{2}{432},\quad \frac{8}{360},\\&\frac{2}{378},\quad \frac{4}{315},\quad \frac{6}{336}\end{aligned}$ superan todos a $\frac{1}{288}.$

Así que el mínimo valor positivo es $\frac{1}{288},$ y $m + n = 1 + 288 = 289.$

Try to make the numerator equal to $1$ while keeping large digits in the denominator. The products $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ and $1 \cdot 5 \cdot 7 = 35$ differ by $1$ and leave $4, 8, 9$ for the denominator, giving the value $\frac{36 - 35}{4 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{1}{288}.$

To beat this, a fraction would need numerator $1$ with denominator greater than $288.$ The denominators exceeding $288$ are $504,$ $432,$ $360,$ $378,$ $315,$ and $336,$ coming respectively from $\{7,8,9\},$ $\{6,8,9\},$ $\{5,8,9\},$ $\{6,7,9\},$ $\{5,7,9\},$ and $\{6,7,8\}.$ Splitting the remaining six digits into two triples, the smallest positive numerator differences are respectively $6,$ $2,$ $8,$ $2,$ $4,$ and $6.$ The resulting lower bounds $\begin{aligned}&\frac{6}{504},\quad \frac{2}{432},\quad \frac{8}{360},\\&\frac{2}{378},\quad \frac{4}{315},\quad \frac{6}{336}\end{aligned}$ all exceed $\frac{1}{288}.$

So the minimum positive value is $\frac{1}{288},$ and $m + n = 1 + 288 = 289.$

2022 AIME I Problema 7

Respuesta: 289

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años