Question

Halla la cantidad de pares ordenados de enteros $(a, b)$ tales que la sucesión $3, 4, 5, a, b, 30, 40, 50$ sea estrictamente creciente y ningún conjunto de cuatro términos (no necesariamente consecutivos) forme una progresión aritmética.

Find the number of ordered pairs of integers $(a, b)$ such that the sequence $3, 4, 5, a, b, 30, 40, 50$ is strictly increasing and no set of four (not necessarily consecutive) terms forms an arithmetic progression.

Respuesta

Solución:

La sucesión es estrictamente creciente exactamente cuando $5 \lt a \lt b \lt 30,$ lo que da $\binom{24}{2} = 276$ pares. Los seis términos fijos no contienen ninguna progresión aritmética de cuatro términos, así que toda progresión debe involucrar a $a$ o $b.$ Si solo uno de ellos está involucrado, tres términos fijos ya deben estar en progresión: $3, 4, 5$ solo se extiende con $6,$ y $30, 40, 50$ solo se extiende con $20.$ Así que las violaciones de una sola variable son $a = 6$ ( $23$ pares) y $20 \in \{a, b\}$ ( $23$ pares), que se solapan en el par $(6, 20).$

Si tanto $a$ como $b$ están involucrados, dos términos fijos completan la progresión. Revisando las posiciones posibles: $(4, 5, a, b)$ da $(6, 7);$ $(3, 5, a, b)$ da $(7, 9);$ $(3, a, b, 30)$ da $(12, 21);$ $(4, a, b, 40)$ da $(16, 28);$ $(5, a, b, 50)$ da $(20, 35),$ fuera de rango; y $(a, b, 30, 40)$ da $(10, 20).$ De estos, $(6, 7)$ y $(10, 20)$ ya se contaron, así que $(7, 9),$ $(12, 21),$ y $(16, 28)$ son los únicos pares malos nuevos.

La cantidad de pares válidos es $276 - (23 + 23 - 1)$ $- 3 = 276 - 48 = 228.$

The sequence is increasing exactly when $5 \lt a \lt b \lt 30,$ giving $\binom{24}{2} = 276$ pairs. The six fixed terms contain no four-term arithmetic progression, so every progression must involve $a$ or $b.$ If only one of them is involved, three fixed terms must already be in progression: $3, 4, 5$ extends only by $6,$ and $30, 40, 50$ extends only by $20.$ So the single-variable violations are $a = 6$ ( $23$ pairs) and $20 \in \{a, b\}$ ( $23$ pairs), which overlap in the pair $(6, 20).$

If both $a$ and $b$ are involved, two fixed terms complete the progression. Checking the possible positions: $(4, 5, a, b)$ gives $(6, 7);$ $(3, 5, a, b)$ gives $(7, 9);$ $(3, a, b, 30)$ gives $(12, 21);$ $(4, a, b, 40)$ gives $(16, 28);$ $(5, a, b, 50)$ gives $(20, 35),$ out of range; and $(a, b, 30, 40)$ gives $(10, 20).$ Of these, $(6, 7)$ and $(10, 20)$ are already counted, so $(7, 9),$ $(12, 21),$ and $(16, 28)$ are the only new bad pairs.

The number of valid pairs is $276 - (23 + 23 - 1)$ $- 3 = 276 - 48 = 228.$

2022 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años