Question

Halla el entero más cercano a $1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4}.$

Find the integer that is closest to $1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4}.$

Respuesta

Respuesta: 521

Conceptos:telescópica fracciones parciales estimación

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Factoriza $n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$ y usa fracciones parciales para obtener una suma telescópica

Factor $n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$ and use partial fractions to make the sum telescope

Pista grande:

Al principio solo quedan $1,$ $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{4}$ , y se restan cuatro pequeños términos finales cercanos a $\frac{1}{10000}$

Only $1,$ $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{4}$ survive at the front, minus four tiny tail terms near $\frac{1}{10000}$

Solución:

Como $\frac{1}{n^2 - 4} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\right),$ la suma se telescopa: $\begin{aligned} &1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4} \\ &\tiny{}= 250\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9999} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{10001} - \frac{1}{10002}\right). \end{aligned}$

Sea $r$ el producto de $250$ por la suma de las cuatro fracciones positivas de la cola. Entonces $0 \lt r \lt 250 \cdot \frac{4}{9999} \lt \frac{1}{3}.$ El valor de la expresión es $520 + \frac{5}{6} - r,$ por lo que está estrictamente entre $520 + \frac{1}{2}$ y $520 + \frac{5}{6}.$ Por tanto, el entero más cercano es $521.$

Since $\frac{1}{n^2 - 4} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\right),$ the sum telescopes: $\begin{aligned} &1000 \sum_{n=3}^{10000} \frac{1}{n^2 - 4} \\ &\tiny{}= 250\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9999} - \frac{1}{10000} - \frac{1}{10001} - \frac{1}{10002}\right). \end{aligned}$

Let $r$ be $250$ times the sum of the four positive tail fractions. Then $0 \lt r \lt 250 \cdot \frac{4}{9999} \lt \frac{1}{3}.$ The value of the expression is $520 + \frac{5}{6} - r,$ so it lies strictly between $520 + \frac{1}{2}$ and $520 + \frac{5}{6}.$ Hence the closest integer is $521.$

2002 AIME II Problema 6

Respuesta: 521

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años