Question

Se trazan tres círculos de radio $3,$ con centros en $(14,92),$ $(17,76),$ y $(19,84).$ Una recta que pasa por $(17,76)$ tiene la propiedad de que el área total de las partes de los tres círculos a un lado de la recta es igual al área total de las partes al otro lado. ¿Cuál es el valor absoluto de la pendiente de esta recta?

Three circles, each of radius $3,$ are drawn with centers at $(14,92),$ $(17,76),$ and $(19,84).$ A line passing through $(17,76)$ is such that the total area of the parts of the three circles to one side of the line is equal to the total area of the parts of the three circles to the other side of it. What is the absolute value of the slope of this line?

Respuesta

Respuesta: 24

Conceptos:área del círculo simetría pendiente

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

La recta ya divide en dos partes iguales el círculo con centro en $(17,76)$

The line already bisects the circle centered at $(17,76)$

Pista grande:

Para los otros dos círculos iguales, sus distancias dirigidas a la recta deben ser opuestas

For the other two equal circles, their signed distances from the line must be opposites

Solución:

Para un círculo de radio $3,$ sea $G(d)$ la diferencia dirigida entre las áreas a los dos lados de una recta cuando la distancia dirigida del centro a la recta es $d.$ La función $G$ es impar y estrictamente creciente para $-3<d<3,$ y solo es constante cuando la recta ya no corta el círculo. El círculo con centro en $(17,76)$ aporta cero, así que la recta debe separar los otros dos centros.

Sea $M=(\frac{33}{2},88)$ el punto medio de esos dos centros. Entre las rectas que pasan por $(17,76)$ y los separan, la menor de las dos distancias de los centros a la recta es máxima cuando las distancias son iguales, es decir, para la recta que pasa por $M.$ Incluso entonces, la distancia es $\frac{56}{\sqrt{577}}<3,$ así que la recta debe cortar al menos uno de los dos círculos. Para que haya equilibrio, debe cortar ambos. El crecimiento estricto de $G$ obliga entonces a que las dos distancias dirigidas sean opuestas, así que la recta buscada pasa por $M.$ Su pendiente es $\frac{88-76}{\frac{33}{2}-17}=-24.$ Su valor absoluto es $24.$

For a circle of radius $3,$ let $G(d)$ be the signed difference between the areas on the two sides of a line when the center’s signed distance from the line is $d.$ The function $G$ is odd and strictly increasing for $-3<d<3,$ and is constant only after the line no longer cuts the circle. The circle centered at $(17,76)$ contributes zero, so the line must separate the other two centers.

Let $M=(\frac{33}{2},88)$ be the midpoint of those two centers. Among the lines through $(17,76)$ that separate them, the smaller of their two distances to the line is largest when the distances are equal, namely for the line through $M.$ Even then, the distance is $\frac{56}{\sqrt{577}}<3,$ so the line must cut at least one of the two circles. Balance then forces it to cut both. The strict increase of $G$ therefore forces the two signed distances to be opposites, so the required line passes through $M.$ Its slope is $\frac{88-76}{\frac{33}{2}-17}=-24.$ Its absolute value is $24.$

1984 AIME Problema 6

Respuesta: 24

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años