Question

¿Para cuántos pares de enteros consecutivos de $\{1000,1001,1002,\ldots,2000\}$ no se necesita llevar al sumar los dos enteros?

For how many pairs of consecutive integers in $\{1000,1001,1002,\ldots,2000\}$ is no carrying required when the two integers are added?

Respuesta

Respuesta: 156

Conceptos:dígitos análisis por casos operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Escribe el entero menor como $1abc$ y separa los casos según el número de cifras $9$ finales

Write the smaller integer as $1abc$ and separate cases by the number of trailing $9$ s

Pista grande:

Una cifra que no cambia debe ser a lo sumo $4$ , y la cifra que aumenta en $1$ también debe sumarse sin llevar

A digit that is unchanged must be at most $4$ , and the digit increased by $1$ must also pair without a carry

Solución:

Escribe el número menor como $1abc.$ Si $c\neq9,$ entonces $c\leq4$ y las cifras que no cambian, $a$ y $b,$ son a lo sumo $4,$ lo que da $5^3=125$ pares. Si $c=9$ pero $b\neq9,$ entonces $a\leq4$ y $b\leq4,$ lo que da $25$ pares. Si $b=c=9$ pero $a\neq9,$ hay $5$ opciones para $a.$ Por último, $1999+2000$ tampoco necesita llevar. El total es $125+25+5+1=156.$

Write the smaller number as $1abc.$ If $c\neq9,$ then $c\leq4$ and the unchanged digits $a$ and $b$ are each at most $4,$ giving $5^3=125$ pairs. If $c=9$ but $b\neq9,$ then $a\leq4$ and $b\leq4,$ giving $25$ pairs. If $b=c=9$ but $a\neq9,$ there are $5$ choices for $a.$ Finally, $1999+2000$ also needs no carry. The total is $125+25+5+1=156.$

1992 AIME Problema 6

Respuesta: 156

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años