Question

¿Cuál es el menor entero positivo que puede expresarse como suma de nueve enteros consecutivos, como suma de diez enteros consecutivos y como suma de once enteros consecutivos?

What is the smallest positive integer that can be expressed as the sum of nine consecutive integers, the sum of ten consecutive integers, and the sum of eleven consecutive integers?

Respuesta

Respuesta: 495

Conceptos:sucesión aritmética mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La suma de una cantidad impar de enteros consecutivos es divisible por el número de términos

A sum of an odd number of consecutive integers is divisible by the number of terms

Pista grande:

La suma de diez enteros consecutivos es congruente con $5\pmod {10}$

A sum of ten consecutive integers is congruent to $5\pmod {10}$

Solución:

Las sumas de $9$ y $11$ enteros consecutivos son divisibles por $9$ y $11,$ respectivamente, así que el número buscado es múltiplo de $99.$ La suma de $10$ enteros consecutivos tiene la forma $10a+45,$ por lo que es congruente con $5\pmod {10}.$ El primer múltiplo de $99$ que termina en $5$ es $5\cdot99=495,$ y entonces existen las tres representaciones requeridas.

The sums of $9$ and $11$ consecutive integers are divisible by $9$ and $11,$ so the desired number is a multiple of $99.$ A sum of $10$ consecutive integers has the form $10a+45,$ hence is congruent to $5\pmod {10}.$ The first multiple of $99$ ending in $5$ is $5\cdot99=495,$ and each of the three required representations then exists.

1993 AIME Problema 6

Respuesta: 495

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años