Question

Sea $P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8.$ Para enteros $n\geq1,$ define $P_n(x)=P_{n-1}(x-n).$ ¿Cuál es el coeficiente de $x$ en $P_{20}(x)$ ?

Let $P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8.$ For integers $n\geq1,$ define $P_n(x)=P_{n-1}(x-n).$ What is the coefficient of $x$ in $P_{20}(x)?$

Respuesta

Respuesta: 763

Conceptos:manipulación algebraica teorema del binomio polinomio

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Combina los desplazamientos repetidos para escribir $P_{20}$ directamente en términos de $P_0$

Collapse the repeated shifts to write $P_{20}$ directly in terms of $P_0$

Pista grande:

Después de sustituir $x-210$ , reúne únicamente los términos lineales

Only collect the linear terms after substituting $x-210$

Solución:

El desplazamiento acumulado es $1+2+\cdots+20=210,$ así que $P_{20}(x)=P_0(x-210).$ Por lo tanto, el coeficiente de $x$ es $\begin{aligned}&3(210)^2-2(313)(210)-77\\&\quad=132300-131460-77\\&\quad=763.\end{aligned}$

The accumulated shift is $1+2+\cdots+20=210,$ so $P_{20}(x)=P_0(x-210).$ The coefficient of $x$ is therefore $\begin{aligned}&3(210)^2-2(313)(210)-77\\&\quad=132300-131460-77\\&\quad=763.\end{aligned}$

1993 AIME Problema 5

Respuesta: 763

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años