Question

Dado un número racional, escríbelo como una fracción en su mínima expresión y calcula el producto del numerador y el denominador resultantes. ¿Para cuántos números racionales entre $0$ y $1$ será $20!$ el producto obtenido?

Given a rational number, write it as a fraction in lowest terms and calculate the product of the resulting numerator and denominator. For how many rational numbers between $0$ and $1$ will $20!$ be the resulting product?

Respuesta

Respuesta: 128

Conceptos:factorización en primos máximo común divisor subconjuntos

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Si $\frac{a}{b}$ está en su mínima expresión y $ab=20!$ , la potencia completa de cada primo que aparece en $20!$ debe asignarse por entero a $a$ o a $b$

If $\frac{a}{b}$ is in lowest terms and $ab=20!$ , each full prime power of $20!$ must go entirely to one of $a$ or $b$

Pista grande:

Cuenta las asignaciones ordenadas de las distintas potencias de primos y luego usa la condición $a<b$

Count ordered allocations of the distinct prime-power factors, then use the condition $a<b$

Solución:

Los distintos primos que dividen $20!$ son $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ y $19.$ Si $\frac{a}{b}$ está en su mínima expresión y $ab=20!,$ la potencia completa de cada uno de estos ocho primos debe asignarse a $a$ o a $b.$ Por lo tanto, hay $2^8$ factorizaciones coprimas ordenadas $ab=20!.$ Como $a\neq b,$ exactamente la mitad satisface $0<\frac{a}{b}<1.$ El número buscado es $2^7=128.$

The distinct primes dividing $20!$ are $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ and $19.$ If $\frac{a}{b}$ is in lowest terms and $ab=20!,$ the entire power of each of these eight primes must be assigned to either $a$ or $b.$ Thus there are $2^8$ ordered coprime factorizations $ab=20!.$ Since $a\neq b,$ exactly half have $0<\frac{a}{b}<1.$ The number sought is $2^7=128.$

1991 AIME Problema 5

Respuesta: 128

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años