Question

¿Cuál es el mayor entero positivo $n$ para el cual $n^3+100$ es divisible por $n+10$ ?

What is the largest positive integer $n$ for which $n^3+100$ is divisible by $n+10?$

Respuesta

Respuesta: 890

Conceptos:divisibilidad aritmética modular polinomio

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Reduce $n^3+100$ módulo $n+10$

Reduce $n^3+100$ modulo $n+10$

Pista grande:

La condición hace que $n+10$ sea un divisor positivo de un entero fijo

The condition makes $n+10$ a positive divisor of a fixed integer

Solución:

Módulo $n+10,$ se tiene $n\equiv-10.$ Por tanto, $\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}$ Así, la condición equivale a que $900$ sea divisible por $n+10.$ Como $n$ es positivo, $n+10$ es un divisor positivo de $900,$ y su mayor valor posible es $900.$ Esto da $n=900-10=890.$

Modulo $n+10,$ we have $n\equiv-10.$ Thus $\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}$ The condition is therefore equivalent to $900$ being divisible by $n+10.$ Since $n$ is positive, $n+10$ is a positive divisor of $900,$ and its largest possible value is $900.$ This gives $n=900-10=890.$

1986 AIME Problema 5

Respuesta: 890

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años