Question

Las páginas de un libro están numeradas del $1$ al $n.$ Al sumar los números de página, se sumó por error uno de ellos dos veces, lo que produjo la suma incorrecta $1986.$ ¿Qué número de página se sumó dos veces?

The pages of a book are numbered $1$ through $n.$ When the page numbers of the book were added, one of the page numbers was mistakenly added twice, resulting in an incorrect sum of $1986.$ What was the number of the page that was added twice?

Respuesta

Respuesta: 33

Conceptos:acotación a casos límite número triangular

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Compara $1986$ con números triangulares consecutivos

Compare $1986$ with consecutive triangular numbers

Pista grande:

El exceso sobre $1+2+\cdots+n$ es el número de página repetido

The excess over $1+2+\cdots+n$ is the repeated page number

Solución:

Los números triangulares consecutivos alrededor de $1986$ son $\begin{aligned} \frac{62\cdot63}{2}&=1953,\\ \frac{63\cdot64}{2}&=2016. \end{aligned}$ Por tanto, el libro tiene $62$ páginas, y el sumando adicional es $1986-1953=33,$ que en efecto es un número de página válido.

Consecutive triangular numbers around $1986$ are $\begin{aligned} \frac{62\cdot63}{2}&=1953,\\ \frac{63\cdot64}{2}&=2016. \end{aligned}$ Hence the book has $62$ pages, and the extra summand is $1986-1953=33,$ which is indeed a valid page number.

1986 AIME Problema 6

Respuesta: 33

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años