Question

Una base de un trapecio es $100$ unidades más larga que la otra base. El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos divide el trapecio en dos regiones cuyas áreas están en razón $2 : 3$ . Sea $x$ la longitud del segmento que une los lados no paralelos del trapecio, paralelo a las bases, y que divide el trapecio en dos regiones de igual área. Halla el mayor entero que no supera $x^2/100$ .

One base of a trapezoid is $100$ units longer than the other base. The segment that joins the midpoints of the legs divides the trapezoid into two regions whose areas are in the ratio $2 : 3.$ Let $x$ be the length of the segment joining the legs of the trapezoid that is parallel to the bases and that divides the trapezoid into two regions of equal area. Find the greatest integer that does not exceed $x^2/100.$

Respuesta

Solución:

Sean las bases $b$ y $b + 100$ . El segmento medio tiene longitud $b + 50$ y divide el trapecio en dos trapecios de igual altura, cuyas áreas son proporcionales a las sumas de sus lados paralelos, $b + (b + 50)$ y $(b + 50) + (b + 100)$ . Igualando $\frac{2b + 50}{2b + 150} = \frac{2}{3}$ se obtiene $b = 75$ , así que las bases son $75$ y $175$ .

Prolonga los lados no paralelos hasta que se corten en un vértice, creando triángulos semejantes: un segmento paralelo a las bases con longitud $\ell$ recorta un triángulo de área $c\ell^2$ para una constante fija $c$ . El segmento de longitud $x$ bisecta el área del trapecio exactamente cuando $cx^2 - c \cdot 75^2 = c \cdot 175^2 - cx^2$ , así que $x^2 = \frac{75^2 + 175^2}{2} = 18125.$

Entonces $x^2/100 = 181.25$ , y el mayor entero que no lo supera es $181$ .

Let the bases be $b$ and $b + 100.$ The midsegment has length $b + 50$ and splits the trapezoid into two trapezoids of equal height, whose areas are proportional to the sums of their parallel sides, $b + (b + 50)$ and $(b + 50) + (b + 100).$ Setting $\frac{2b + 50}{2b + 150} = \frac{2}{3}$ gives $b = 75,$ so the bases are $75$ and $175.$

Extend the legs to meet at an apex, creating similar triangles: a segment parallel to the bases with length $\ell$ cuts off a triangle of area $c\ell^2$ for a fixed constant $c.$ The segment of length $x$ bisects the trapezoid's area exactly when $cx^2 - c \cdot 75^2 = c \cdot 175^2 - cx^2,$ so $x^2 = \frac{75^2 + 175^2}{2} = 18125.$

Then $x^2/100 = 181.25,$ and the greatest integer not exceeding it is $181.$

2000 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años