Question

Los números complejos $z$ y $w$ satisfacen $z^{13} = w,$ $w^{11} = z,$ y la parte imaginaria de $z$ es $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ para enteros positivos primos entre sí $m$ y $n$ con $m \lt n.$ Halla $n.$

The complex numbers $z$ and $w$ satisfy $z^{13} = w,$ $w^{11} = z,$ and the imaginary part of $z$ is $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ for relatively prime positive integers $m$ and $n$ with $m \lt n.$ Find $n.$

Respuesta

Solución:

Sustituyendo, $z = w^{11} = (z^{13})^{11} = z^{143},$ y $z \ne 0,$ así que $z^{142} = 1.$ Recíprocamente, cualquier raíz $142$ -ésima de la unidad $z$ funciona con $w = z^{13},$ ya que entonces $w^{11} = z^{143} = z.$

Por lo tanto $z = \cos\frac{2k\pi}{142} + i\sin\frac{2k\pi}{142}$ para algún entero $k,$ y la parte imaginaria de $z$ es $\sin\frac{k\pi}{71}.$ Como $71$ es primo, para cada $k$ con $1 \le k \le 70$ la fracción $\frac{k}{71}$ ya está en su forma más simple, coincidiendo con la forma requerida $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ con $m \lt n.$ Así, $n = 71.$

Substituting, $z = w^{11} = (z^{13})^{11} = z^{143},$ and $z \ne 0,$ so $z^{142} = 1.$ Conversely, any $142$ nd root of unity $z$ works with $w = z^{13},$ since then $w^{11} = z^{143} = z.$

Hence $z = \cos\frac{2k\pi}{142} + i\sin\frac{2k\pi}{142}$ for some integer $k,$ and the imaginary part of $z$ is $\sin\frac{k\pi}{71}.$ Since $71$ is prime, for every $k$ with $1 \le k \le 70$ the fraction $\frac{k}{71}$ is already in lowest terms, matching the required form $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ with $m \lt n.$ Thus $n = 71.$

2012 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años