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1998 AIME Problema 6

Intenta el Problema 6 del 1998 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1998 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

Sea ABCDABCD un paralelogramo. Prolonga DA‾\overline{DA} más allá de AA hasta un punto P,P, y supón que PC‾\overline{PC} corta a AB‾\overline{AB} en QQ y a DB‾\overline{DB} en R.R. Dado que PQ=735PQ = 735 y QR=112,QR = 112, halla RC.RC.
Let ABCDABCD be a parallelogram. Extend DA‾\overline{DA} through AA to a point P,P, and let PC‾\overline{PC} meet AB‾\overline{AB} at QQ and DB‾\overline{DB} at R.R. Given that PQ=735PQ = 735 and QR=112,QR = 112, find RC.RC.
Respuesta: 308
Conceptos:semejanzaparalelogramocuadrática
Nivel de dificultad: 2510
Pista pequeña:
Dos pares de triángulos semejantes: AQ∥DCAQ \parallel DC da PQPC=PAPD,\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD}, y BC∥PDBC \parallel PD da RCRP=BCPD\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD}
Two pairs of similar triangles: AQ∥DCAQ \parallel DC gives PQPC=PAPD,\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD}, and BC∥PDBC \parallel PD gives RCRP=BCPD\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD}
Pista grande:
Con a=PAAD,a = \frac{PA}{AD}, las razones dan PQ:QR:RCPQ : QR : RC =a(a+2):1:(a+1);= a(a+2) : 1 : (a+1); usa PQQR=735112\frac{PQ}{QR} = \frac{735}{112} para hallar aa
With a=PAAD,a = \frac{PA}{AD}, the ratios give PQ:QR:RCPQ : QR : RC =a(a+2):1:(a+1);= a(a+2) : 1 : (a+1); use PQQR=735112\frac{PQ}{QR} = \frac{735}{112} to find aa
Solución:
Sea a=PAAD.a = \frac{PA}{AD}. Como AQ∥DC,AQ \parallel DC, los triángulos PAQPAQ y PDCPDC son semejantes, así que PQPC=PAPD=aa+1.\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD} = \frac{a}{a+1}. Como BC∥AD,BC \parallel AD, es decir BC∥PD,BC \parallel PD, los triángulos RBCRBC y RDPRDP son semejantes, así que RCRP=BCPD=1a+1,\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD} = \frac{1}{a+1}, lo que da RCPC=1a+2.\frac{RC}{PC} = \frac{1}{a+2}.
Escribiendo PC=L,PC = L, obtenemos PQ=aa+1L,PQ = \frac{a}{a+1}L, RC=La+2,RC = \frac{L}{a+2}, y QR=L−PQ−RC=L(a+1)(a+2). \begin{aligned} QR &= L - PQ - RC \\ &= \frac{L}{(a+1)(a+2)}. \end{aligned} Por lo tanto PQQR=a(a+2)=735112=10516,\frac{PQ}{QR} = a(a+2) = \frac{735}{112} = \frac{105}{16}, así que 16a2+32a−105=0,16a^2 + 32a - 105 = 0, que se factoriza como (4a−7)(4a+15)=0,(4a - 7)(4a + 15) = 0, dando a=74.a = \frac{7}{4}.
Finalmente RC=(a+1) QRRC = (a + 1)\,QR =114⋅112= \frac{11}{4} \cdot 112 =308.= 308.
Let a=PAAD.a = \frac{PA}{AD}. Since AQ∥DC,AQ \parallel DC, triangles PAQPAQ and PDCPDC are similar, so PQPC=PAPD=aa+1.\frac{PQ}{PC} = \frac{PA}{PD} = \frac{a}{a+1}. Since BC∥AD,BC \parallel AD, i.e. BC∥PD,BC \parallel PD, triangles RBCRBC and RDPRDP are similar, so RCRP=BCPD=1a+1,\frac{RC}{RP} = \frac{BC}{PD} = \frac{1}{a+1}, which gives RCPC=1a+2.\frac{RC}{PC} = \frac{1}{a+2}.
Writing PC=L,PC = L, we get PQ=aa+1L,PQ = \frac{a}{a+1}L, RC=La+2,RC = \frac{L}{a+2}, and QR=L−PQ−RC=L(a+1)(a+2). \begin{aligned} QR &= L - PQ - RC \\ &= \frac{L}{(a+1)(a+2)}. \end{aligned} Hence PQQR=a(a+2)=735112=10516,\frac{PQ}{QR} = a(a+2) = \frac{735}{112} = \frac{105}{16}, so 16a2+32a−105=0,16a^2 + 32a - 105 = 0, which factors as (4a−7)(4a+15)=0,(4a - 7)(4a + 15) = 0, giving a=74.a = \frac{7}{4}.
Finally RC=(a+1) QRRC = (a + 1)\,QR =114⋅112= \frac{11}{4} \cdot 112 =308.= 308.
Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

El Problema 6 en otros años

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